Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (краевая задача) презентация

Численные методы решения краевой задачи
Две группы методов:
методы, основанные на замене решения краевой задачи решением нескольких задач Коши;
методы, в которых используется конечно-разностная форма дифференциального уравнения.
граничные условия

Методы «стрельбы»
граничные условия
Дифференциальное уравнение второго порядка
Краевая задача сводится к задаче Коши с помощью начальных условий
1)
– решение
2)
– решение
является линейным

Конечно-разностные методы решения краевой задачи
граничные условия
В основе конечно-разностных методов – замена производных конечными разностями

Конечно-разностные методы решения краевой задачи
Конечно-разностные выражения для первых производных
Односторонние производные (на концах отрезка):
Разложение функции в ряд Тейлора

Конечно-разностные методы решения краевой задачи
Центральные разностные производные (внутренние узлы):

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
граничные условия
Разностная форма уравнения

Пример. Решение дифференциального уравнения
Система линейных уравнений

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
граничные условия
Аппроксимация производных
внутренние узлы:
на концах отрезка:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
Разностная аппроксимация исходной задачи

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
Разностная аппроксимация исходной задачи

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
Система уравнений

Решение системы линейных уравнений
методом прогонки
Система уравнений

Решение системы линейных уравнений
методом прогонки
Прямой ход
Система уравнений
Обратный ход

Задание
Написать программу решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки (C++Builder) с построением графиков.
Решить краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка в Mathcad с построением графиков.
Варианты заданий
Плис А.И., Сливина. Лабораторный практикум по высшей математике (лабораторная работа №30, с. 198).