Решение задач по теории вероятностей (по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике) презентация

Содержание

Слайд 2

«Сочетая строгость научных доказательств с неопределенностью случая и примиряя казалось бы

«Сочетая строгость научных доказательств с неопределенностью случая и примиряя казалось бы противоположные вещи,
противоположные вещи, и, извлекая ее имя из того и другого, можно по праву присвоить ей ошеломляющее название геометрия случая»

Блез Паскаль

Термин «геометрия» в те времена употреблялся также в смысле «математика».

Слайд 3

Решение задач по теории вероятностей

профильный уровень задание № 4

Цель:
повторить и

Решение задач по теории вероятностей профильный уровень задание № 4 Цель: повторить и
обобщить основные знания по данной теме;
повторить классическое определение вероятности события, а также основные свойства вероятности события, формулы сложения и умножения вероятностей событий, формулу полной вероятности;
применить данные теоретические сведения к решению задач.

Слайд 4

профильный уровень задание № 4

Требования к уровню подготовки выпускников

Уметь моделировать реальные

профильный уровень задание № 4 Требования к уровню подготовки выпускников Уметь моделировать реальные
ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий

Слайд 5

профильный уровень задание № 4

Примерное время выполнения задания –
3-5 мин;
Максимальный балл

профильный уровень задание № 4 Примерное время выполнения задания – 3-5 мин; Максимальный
за задание – 1.

Слайд 6

Классическое определение вероятности

Теоретические сведения

Вероятностью события А называется отношение
числа благоприятных

Классическое определение вероятности Теоретические сведения Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для
для него исходов испытания к
числу всех равновозможных исходов.

где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.

Слайд 7

Теоретические сведения

Некоторые свойства и формулы

Вероятность достоверного события равна 1.
Вероятность невозможного

Теоретические сведения Некоторые свойства и формулы Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного
события равна 0.
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Формула сложения вероятностей совместных событий: P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)
Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
P(A U B) =P(A) + P(B)         

Слайд 8

Теоретические сведения

Некоторые свойства и формулы

6. Вероятность произведения независимых событий А

Теоретические сведения Некоторые свойства и формулы 6. Вероятность произведения независимых событий А и
и В (наступают одновременно) вычисляется по формуле: 
P(A∩B) = P(A) ∙ P(B).
7. Формула умножения вероятностей:
P(A∩B) = P(A) ∙ P(B\A),
где P(B\A) – условная вероятность события В,
при условии, что событие А наступило.
8. Формула полной вероятности:
P(A) = P(В) ∙ P(А\В)+ P(С) ∙ P(А\С),
где события В и С несовместны, а событие А происходит вместе с одним из событий В или С.

Слайд 9

Теоретические сведения

Некоторые свойства и формулы

9. Формула вероятности k успехов в

Теоретические сведения Некоторые свойства и формулы 9. Формула вероятности k успехов в серии
серии из n испытаний Бернулли:
P(A) = , где
р – вероятность успеха, q=1-p – вероятность неудачи в одном испытании.

Слайд 10

Теоретические сведения

Опыты с равновозможными элементарными событиями.
Простейшие правила и формулы вычисления

Теоретические сведения Опыты с равновозможными элементарными событиями. Простейшие правила и формулы вычисления вероятностей. Две группы задач
вероятностей.

Две группы задач

Слайд 11

Теоретические сведения

Схема решения задач:
1. Определить, в чем состоит случайный эксперимент

Теоретические сведения Схема решения задач: 1. Определить, в чем состоит случайный эксперимент и
и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что они равновозможные.
2. Найти общее число элементарных событий (n).
3. Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число (m).
4. Найти вероятность события А по формуле

Опыты с равновозможными элементарными событиями

Слайд 12

Задача 1.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России,

Задача 1. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7
7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Событие состоит в том, что выбрана спортсменка, которая выступает первой. Первой может оказаться любая.
Всего участвует 20 спортсменок – это общее количество (n).

Решение:

из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая. (это количество исходов благоприятных данному событию, т.е. m)

Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая
p=m/n , т.е. p=5/20 = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25

Слайд 13

Задача 2.
В среднем из 600 садовых насосов, поступивших в продажу, 3

Задача 2. В среднем из 600 садовых насосов, поступивших в продажу, 3 подтекают.
подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Количество исходов, благоприятных данному событию:
m=600 – 3 = 597, т.е. это количество насосов, которые не подтекают.
Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна p=597/600 = 0,995.

Решение:

Событие состоит в том, выбирают хороший насос из 600. Общее количество n=600.

Другой способ решения.
Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает, равна p=3/600 = 1/200 = 0,005.
События: «насос подтекает» и «насос не подтекает» - противоположные события, тогда р=1-0,005=0,995

Ответ: 0,995

Слайд 14

Задача 3.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится

Задача 3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь
восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Общее количество сумок: 100 + 8 = 108 (качественных и со скрытыми дефектами).

Решение:

Событие состоит в том, купленная сумка окажется качественной. По условию известно, что таких сумок 100, т.е. это количество благоприятных исходов.

Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна
р=100/108 = 25/27=0,925... ≈ 0,93.

Ответ: 0,93

Слайд 15

Задача 4.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов −

Задача 4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов −
первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

В последний день конференции запланировано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов (количество благоприятных исходов).

Решение:

Событие состоит в том, доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции. Всего докладов – 75 (общее количество исходов).

Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна р=12/75 = 4/25 = 0,16.

Ответ: 0,16

Слайд 16

Задача 5.
Всего в группе туристов 21 человек, в том числе Женя

Задача 5. Всего в группе туристов 21 человек, в том числе Женя и
и Саша. Группу случайным образом делят на три подгруппы по 7 человек для посадки в три микроавтобуса. Какова вероятность того, что Женя и Саша случайно окажутся в одном автобусе?

Вместе с ним в этом автобусе окажутся 7-1=6 человек из 21-1=20 оставшихся.

Решение:

Пусть один из мальчиков, например, Женя, находится в одном из автобусов.

Вероятность того, что Саша окажется среди этих 6 человек, равна
р = 6 : 20 = 3 : 10 = 0,3.

Ответ: 0,3

Слайд 17

Задача 6.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на

Задача 6. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые
игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

В паре с ним могут оказаться 10-1=9 человек из России из 26-1=25 оставшихся бадминтонистов.

Решение:

Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.

Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна р=9:25 = 36:100 = 0,36.

Ответ: 0,36

Слайд 18

Задача 7.
За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются

Задача 7. За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9
9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.

р = 2 : 10 = 0,2.

Решение:

Допустим, первая девочка уже села на какое-то место. Осталось 11-1=10 мест. Число всех возможных исходов n=10.

Чтобы вторая девочка оказалась рядом с первой, она может сесть либо слева, либо справа от нее. Получаем число благоприятных исходов m=2.

Ответ: 0,2

Слайд 19

Задача 8.
Клиент получает в банке кредитную карту. Четыре последние цифры номера

Задача 8. Клиент получает в банке кредитную карту. Четыре последние цифры номера карты
карты случайные. Какова вероятность того, что последние четыре цифры состоят из двух повторяющихся групп по 2 различные цифры, например 0404 или 5252?

р = 90 : 10 000 = 9:1000 = 0,009.

Решение:

Цифры стоят на четырех позициях и могут быть любыми из 10 различных (от 0 до 9), т.е. число всех исходов n=10∙10∙10∙10 = 10 000.

Число благоприятных исходов m=10∙9∙1∙1=90.

Ответ: 0,009

Слайд 20

Задача 9.
Какова вероятность того, что последние три цифры телефонного номера случайного

Задача 9. Какова вероятность того, что последние три цифры телефонного номера случайного абонента
абонента совпадают?

р = 10 : 1000 = 1:100 = 0,01.

Решение:

Цифры меняются от 0 до 9, значит, это комбинации: 000, 111, 222, …, 999. Количество таких комбинаций 10 и число благоприятных исходов m = 10.

Число всех исходов n=10∙10∙10= 1000

Ответ: 0,01

Слайд 21

Теоретические сведения

Задачи с монетами (и игральной костью) при небольшом количестве

Теоретические сведения Задачи с монетами (и игральной костью) при небольшом количестве подбрасываний удобно
подбрасываний удобно решать методом перебора комбинаций.
Метод перебора комбинаций:
1. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например, если две монеты: ОО,ОР,РО, РР. Число таких комбинаций – n.
2. Среди полученных комбинаций выделяем те, которые требуются по условию задачи (благоприятные исходы), число благоприятных исходов – m.

Задачи с монетами и кубиком

Слайд 22

Теоретические сведения

При решении задач с монетами число всех возможных исходов

Теоретические сведения При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно посчитать
можно посчитать по формуле ,
где N – количество бросков, 2 – число равновозможных исходов (выпадение орла или решки).
При бросании кубика , где N – количество бросков, 6 – число равновозможных исходов (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков).

Задачи с монетами и кубиком

Слайд 23

Задача 10.
Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая

Задача 10. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из
из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"?

р = 1 : 8 = 0,125

Решение:

Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка.

Число всех исходов получилось n=8,
благоприятных – m=1.

Ответ: 0,125

Слайд 24

Задача 11.
Марина и Диана бросают кубик по одному разу. Выигрывает та,

Задача 11. Марина и Диана бросают кубик по одному разу. Выигрывает та, у
у которой выпадет больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросила Марина, у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Диана выиграет.

Всего вариантов n=6. Подсчитаем количество исходов, в которых Диана выиграет, т.е. наберет 4, 5 или 6 очков. Таких вариантов m=3.

Решение:

При условии, что у Марины выпало 3 очка, возможны следующие варианты:

3 и 1
3 и 2
3 и 3
3 и 4
3 и 5
3 и 6

Ответ: 0,5

р=3:6 = 0,5

Слайд 25

Задача 12.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того,

Задача 12. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что
что одновременно хотя бы на одном кубике выпало число 1 и ни на одном кубике не выпало число 6.

Благоприятных исходов m=9.

Решение:

Общее число исходов

1 и 1
1 и 2
1 и 3
1 и 4
1 и 5

Ответ: 0,25

р=9:36 =1: 4=0,25

2 и 1
3 и 1
4 и 1
5 и 1

Слайд 26

Задача 13.
Монету бросают 10 раз. Во сколько раз событие «орел выпадет

Задача 13. Монету бросают 10 раз. Во сколько раз событие «орел выпадет ровно
ровно 5 раз» более вероятно, чем событие «орел выпадет ровно 7 раз»?

Решение:

Количество всех исходов первого и второго события одинаково:

Ответ: 2,1

Слайд 27

Теоретические сведения

Задачи из второй группы требуют знания правил и формул

Теоретические сведения Задачи из второй группы требуют знания правил и формул сложения и умножения вероятностей.
сложения и умножения вероятностей.

Слайд 28

Задача 14.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера

Задача 14. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б.
Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Пусть событие С – «выигрыш гроссмейстера А., когда он играет белыми», р(С)=0,52. Событие D – «выигрыш гроссмейстера А., когда он играет черными», р(D)=0,3.
Событие F – гроссмейстера А. выиграет обе партии.

Решение:

Событие F является произведением событий C и D, т.к. гроссмейстер А. выиграет оба раза, играя и белыми, и черными.

События C и D независимы друг от друга, поэтому р(F)=р(С∙D)=р(С)∙р(D)=0,52∙0,3=0,156.

Ответ: 0,156.

Слайд 29

Задача 15. В магазине три продавца. Каждый из них занят с

Задача 15. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с
клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:

Пусть событие А – «продавец занят с клиентом», р(А)=0,3.

Необходимо найти вероятность события С, когда занят первый продавец, при этом занят второй, и при этом (занятости первого и второго) ещё занят и третий. Используется правило умножения. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Значит, вероятность того, что все три продавца заняты, равна:
р(С)= р(А)∙р(А)∙р(А)=0,3∙0,3∙0,3 = 0,027.

Ответ: 0,027.

Слайд 30

Задача 16. По отзывам покупателей, Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов.

Задача 16. По отзывам покупателей, Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того,
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение:

Пусть событие F – «товар доставят из магазина А»,
тогда событие - «товар не доставят из магазина А», р( )=1– 0,89 = 0,2.
Событие G – «товар доставят из магазина Б»,
тогда событие - «товар не доставят из магазина Б», р( )=1– 0,9 = 0,1.

Эти события независимы. Вероятность совершения независимых событий одновременно (событие C – «оба магазина не доставят товар»), равна произведению вероятностей этих событий: р(С)=0,1∙0,2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

Слайд 31

Задача 17. Биатлонист три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в

Задача 17. Биатлонист три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при
мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Пусть событие А – «биатлонист попадает в мишени», р(А)=0,8, тогда событие - «биатлонист промахнулся», р( )= 1 – 0,8 = 0,2.

Попадание в мишень при стрельбе является независимым событием. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом, вероятность события «попал, попал, промахнулся» равна:
0,8∙0,8∙0,2 = 0,128.
Округляем до сотых, получаем 0,13.

Ответ: 0,13.

Слайд 32

Задача 18. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из

Задача 18. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных
списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Пусть событие А – школьнику достанется вопрос по теме «Вписанная окружность», р(А)=0,2. Событие B – школьнику достанется вопрос по теме «Параллелограмм», р(B)=0,15.

Событие С – школьнику достанется вопрос по одной из двух тем.

Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет, т.е. события А и В несовместны. *Несовместные (независимые) события – это события, которые не могут произойти одновременно.
В данном случае вероятности складываются: р(С)=0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

Слайд 33

Задача 19. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года,

Задача 19. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97.
равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

Событие А – «чайник прослужит больше года», В – «чайник прослужит больше двух лет», С – «чайник прослужит меньше двух лет, но больше года»

Обратите внимание, что событие «В» включено в событие «А». Графически это можно выразить так:

Таким образом, р(А)=р(В)+р(С). Искомая вероятность события С будет равна разности: Р(С)=Р(А)–Р(В)= 0,97–0,89 = 0,08.

Ответ: 0,08.

Слайд 34

Задача 20. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность

Задача 20. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что
того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение:

Событие А – «в автобусе меньше 20 пассажиров» состоит из двух несовместных событий: В – «в автобусе меньше 15 пассажиров» и события С – «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». р(А)=0,94, р(В)=0,56.

Таким образом, р(А)=р(В)+р(С). Искомая вероятность события С будет равна разности: Р(С)=Р(А)–Р(В)=0,94–0,56=0,38.

Ответ: 0,38.

Слайд 35

Задача 21. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что

Задача 21. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет
диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Решение:

Событие А – «при изготовлении подшипников диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм», т.е. диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм, р(А)=0,965.

Событие «подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм» является противоположным событию А.

Значит, необходимо найти вероятность противоположного события.
р( ) =1 – 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035.

Слайд 36

Задача 22. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность

Задача 22. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что
того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Пусть событие А – кофе закончится в первом автомате, р(А)=0,3. Событие В – кофе закончится во втором автомате, р(В)=0,3.

Обратите внимание, что события А и В совместны, т.к. кофе может закончиться в обоих автоматах.
Событие А∙В – кофе закончится и в первом, и во втором автоматах, р(А∙В) = 0,12.

А+В – кофе закончится хотя бы в одном автомате.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий находится по формуле:
Р(А + В) =Р(АUВ)=Р(А) + Р (В) – Р(А∙В) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.

Слайд 37

Задача 22. (продолжение)

Решение:

Все варианты событий, которые могут быть:
ОСТАЛСЯ В ПЕРВОМ –

Задача 22. (продолжение) Решение: Все варианты событий, которые могут быть: ОСТАЛСЯ В ПЕРВОМ
ОСТАЛСЯ ВО ВТОРОМ
ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ – ОСТАЛСЯ ВО ВТОРОМ
ОСТАЛСЯ В ПЕРВОМ – ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ
ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ – ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ.

Выражению – «кофе закончится хотя бы в одном» соответствуют три события из представленных.

Значит, событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном». И его вероятность равна: 1 – 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Слайд 38

Пусть событие А – «хотя бы один автомат исправен», тогда событие

Пусть событие А – «хотя бы один автомат исправен», тогда событие - «оба
- «оба автомата неисправны». Они противоположны, т.к.
«неисправен-неисправен»
«исправен-неисправен»
«неисправен-исправен»
«исправен-исправен».

Задача 23. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.
Эти события независимые, значит, вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: р( )=0,05∙0,05=0,0025.

Решение:

Значит вероятность того, что исправен хотя бы один автомат: р(А)=1– 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Слайд 39

Задача 24. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью

Задача 24. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если
0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Пусть событие С – «Джон попадет в муху». Вероятность этого события найдем по формуле полной вероятности: р(С)=р(А)∙р(С\А)+р(В)∙р(С\В),

где событие А – «Джон схватит пристрелянный револьвер», р(А)= ;
событие В – «Джон схватит непристрелянный револьвер», р(В)=1-0,4=0,6;

р(С\А) – вероятность того, что Джон попадет в муху, если возьмет пристрелянный револьвер, р(С\А)=0,9;
р(С\В) – вероятность того, что Джон попадет в муху, если возьмет непристрелянный револьвер, р(С∙В)=0,2.

Ответ: 0,52.

р(С)=0,4∙0,9+0,6∙0,2=0,48.

«Джон попадет» и «Джон промахнется» - противоположные события, значит р( )=1-0,48=0,52.

Слайд 40

Задача 25. Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он

Задача 25. Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает
наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Пенсионер начинает прогулку в точке А. Найдите вероятность того, что он придет в точку G.

Решение:

Выбор пути на каждой развилке происходит наудачу, поэтому вероятность того, что пенсионер
выберет дорожку АВ р= , дорожку ВG р= .

Ответ: 0,125.

Пусть событие G – «пенсионер пришел в точку G», АВG – «маршрут пенсионера».

Значит, по правилу умножения вероятность того, что пенсионер придет в точку G, равна: Р(G) = Р(АВG) = 1/2·1/4= 0,125.

Слайд 41

Задача 26. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая

Задача 26. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает
фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Событие С – случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Первая фабрика выпускает 45% стёкол, значит, вероятность купить стекло первой фабрики р(А)=0,45. Вероятность купить бракованное стекло первой фабрики р=0,03.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна: 0,45∙ 0,03=0,0135.

Вторая фабрика выпускает 55% стёкол, значит, вероятность купить стекло второй фабрики р(В)=0,55. Вероятность купить бракованное стекло второй фабрики равна р=0,01.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,55∙0,01=0,0055.

Ответ: 0,019.

Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено с первой фабрики ИЛИ со второй. Это независимые события, то есть полученные вероятности складываем: 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Слайд 42

Задача 27. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно

Задача 27. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя
набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

Решение:

Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами:
3 + 1, 1 + 3, 3 + 3.

Ответ: 0,33.

Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей.
Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий – результата в первой и во второй игре.

Получаем: р(N ≥ 4) = р(3+1) + р(1+3) + р(3+3) =
= р(3) · р(1) + р(1) · р(3) + р(3) · р(3) =
= 0,3 · 0,4 + 0,4 · 0,3 + 0,3 · 0,3=
= 0,12 + 0,12 + 0,09 = 0,33.

Вероятность событий «проигрыш», «выигрыш», «ничья» составляют полную вероятность. Значит, р(3)+ р(0)+р(1)=1, отсюда р(1)=1-0,3-0,3=0,4.

Слайд 43

Задача 28. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект.

Задача 28. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле
При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Пусть завод произвел t тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки, т.е. (1-0,1)t=0,9t, и 30% невыявленных дефектных тарелок, т.е 0,3∙0,1t.
Количество всех тарелок n=0,9t + 0,3 · 0,1t = 0,9t + 0,03t = 0,93t.

Ответ: 0,97.

Поскольку качественных из них (количество благоприятных исходов) m=0,9t,

то вероятность купить качественную тарелку равна: р = 0,9t/0,93t = 0,967 ...≈0,97

10%=0,1 70%=0,7

Слайд 44

s.marova@mail.ru

Марова Светлана Николаевна

s.marova@mail.ru Марова Светлана Николаевна

Слайд 45

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите
если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Д. Пойа

Слайд 46

Удачи на ЕГЭ!

Удачи на ЕГЭ!

Слайд 47

Вероятность и комбинаторика в заданиях ЕГЭ по математике. Фрундин В.Н. Учебное

Вероятность и комбинаторика в заданиях ЕГЭ по математике. Фрундин В.Н. Учебное пособие. -
пособие. - Курск: ЦР «Лоцман»,
2013. – 96 с.
ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / И.В. Ященко., И.Р. Высоцкий и др. – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 640 с.;
https://ege.sdamgia.ru/ − Сайт Дмитрия Гущина;
https://fipi.ru/ege/otkrytyy-bank-zadaniy-ege#!/tab/173765699-2 - открытый банк заданий ФИПИ.

Список источников основного содержания:

Имя файла: Решение-задач-по-теории-вероятностей-(по-материалам-открытого-банка-задач-ЕГЭ-по-математике).pptx
Количество просмотров: 93
Количество скачиваний: 2