Точность систем автоматического управления презентация

План
1 Общие положения
2 Понятие о типовых режимах САУ
3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок
4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах
5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок)
6 Методы повышения точности САУ

1 Общие положения
Точность является важнейшим критерием качества систем. В настоящее время практически все многочисленные элементы любых технических систем изготавливаются автоматически т.е. с помощью САУ. Таким образом точность САУ определяет качество продукции, товаров, их надежность, энергопотребление, долговечность и т.д. и т.п.

2 Понятие о типовых режимах САУ
Точность САУ принято оценивать по величине ошибок в типовых режимах. Типовыми называются режимы просто описываемые математически и имеющие четкий физический смысл. К ним относятся:
- режим покоя, когда х(t)=const;
- режим линейно-нарастающих сигналов, когда х(t)=a*t, где а=const;
- режим гармонических входных сигналов, когда х(t)=A*sinωt.

ε
Итак, нам необходимо вычислить установившуюся ошибку ε(t) при t→∞, при типовых режимах и по ней можно будет судить о точности САУ.

3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок
Сформулируем для этого теорему о предельном значении оригинала:
limX(t)=limX(s),
t→ ∞ s→ 0
т.е. предел оригинала при t→∞ равен пределу изображения по Лапласу при s→0.

Передаточная функция САУ по ошибке:
Итак, чтобы определить установившуюся (при t→ ∞) ошибку САУ нужно:
- Найти x(s) зная x(t)
- Определить Fε(s)
- Найти ε(s)= X(s) * Fε (s)
- Определить εуст= lim ε(s)
S→0

4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах
Рассмотрим ошибки САУ в типовых режимах:
1. Ошибка САУ в покое (статическая ошибка)
X(t)=X0=const X(s)=X0
Пусть - статическая
САУ, поскольку в знаменателе нет множителя S, т.е. интегрирующего элемента в системе

По теореме о предельном значении аргумента
(1)
Подставляя Wp(s) в (1) получим:

Статическая ошибка в статической САУ в (1+К) раз меньше входной величины.

Пусть теперь
- астатическая САУ (есть
интегратор, т.е. множитель S в знаменателе передаточной функции)

Таким образом, статическая ошибка в астатической САУ равна 0
Таким образом, статическая ошибка в астатической САУ равна 0

2. Второй типовой режим - движение с постоянной скоростью (скоростная ошибка)
x(t)=at a=cost
Пусть: - статическая САУ
Тогда:

Ошибка в статической САУ при линейно-нарастающем входном сигнале x(t)=at возрастает до ∞.
Т.о. статические САУ в таком режиме не работоспособны.
Ошибка в статической САУ при линейно-нарастающем входном сигнале x(t)=at возрастает до ∞.
Т.о. статические САУ в таком режиме не работоспособны.

Пусть теперь
- астатическая САУ
Тогда

Т.о. в астатических САУ при x(t)=at a=const
устанавливается ошибка в “К” раз меньше чем “a”, т.е. они работоспособны в таких режимах.
Т.о. в астатических САУ при x(t)=at a=const
устанавливается ошибка в “К” раз меньше чем “a”, т.е. они работоспособны в таких режимах.
x(t)
y(t)
t

3. Третий режим - гармонических входных сигналов.
Пусть x(t)=xmsinωkt
xm,ωk – амплитуда и частота “качки”.
Wp(S)
ε(s)
y(s)
x(s)

Определим амплитуду εm ошибки САУ в этом режиме.
Для этого найдем:
- ПФ САУ по ошибке
Подставим S=jωk
(1)

Выражение (1) справедливо и для амплитуд, т.е.
Откуда следует:
(2)
Прологарифмируем (2): (3)
Ак – контрольная точка

Из (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду ошибки не более допустимой εдоп, если
Из (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду ошибки не более допустимой εдоп, если

Т.о. чтобы ошибка САУ в гармоническом режиме не превышала допустимой εдоп необходимо:
1. Определить положение контрольной точки Ак с координатами:
ω=ωк и
2. Обеспечить прохождение L(ω) выше контрольной точки Ак

5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок)
Пусть на вход САУ действует сигнал x(t) произвольной формы. Чтобы определить ошибку ε(t) в этом случае найдем вначале ее изображение.
Wp(S)
ε(s)
y(s)
x(s)

Поскольку: (1)
То: (2)
Разложим далее Fε(s) по возрастающим степеням S в ряд, тогда (2) можно записать в виде:
(3)

При нулевых начальных условиях
и переходя в (3) к оригиналам можно записать
(4)
Величины С0, С1, С2 … называются коэффициентами ошибок САУ.
При нулевых начальных условиях
и переходя в (3) к оригиналам можно записать
(4)
Величины С0, С1, С2 … называются коэффициентами ошибок САУ.

Чтобы определить ошибку САУ при произвольной форме входного сигнала x(t) необходимо:
Определить передаточную функцию САУ по ошибке Fε(s);
Разложить в ряд Fε(s) путем деления ее числителя на знаменатель и найти коэффициенты С0, С1, С2 …;
Подставить коэффициенты ошибок в (4) и найти установившуюся ошибку ε(t).

Пример
Найти ошибку в САУ при:
Если:

Решение:
1.Найдем

2. Разложим (1) в степенной ряд путем деления числителя на знаменатель
-
-

Ограничимся первыми тремя членами ряда, т.к. входной сигнал X(t) имеет лишь три не нулевых первых производных.

3. Итак: (5)
Сопоставляя (5) и (4) имеем коэффициенты ошибок:
С0=0 (6)

4. Определим далее производные от X(t):
(7)

5. Подставляя коэффициенты С0, С1, С2… и производные (7) в (4) получим:
Т.е. ошибка с течением времени будет нарастать до ∞ из-за члена “bt”.

6 Методы повышения точности САУ
Анализируя выражения для коэффициентов ошибок отметим, что:
Все коэффициенты обратно-пропорциональны коэффициенту К – усиления системы;
Чем выше порядок астатизма “v” тем большее количество первых коэффициентов ошибок равны 0

ВНИМАНИЕ
Порядок астатизма “v” определяется числом интегрирующих звеньев в контуре системы. Формально “v” равно показателю степени множителя S в знаменателе передаточной функции wp.

1. Первый способ повышения точности САУ – увеличение К
Т.о. самым универсальным способом повышения точности САУ являются увеличение коэффициента К усиления системы. При этом все коэффициенты ошибок уменьшаются, а это означает, что система во всех режимах работы будет иметь меньшие ошибки. Однако этот способ снижает запасы устойчивости системы и рано или поздно приводит к полной потере устойчивости. Это можно показать на примере критерия Найквиста.

К1

2. Способ повышения точности САУ – путем увеличения астатизма “v”
v=0 (статическая САУ)
Все коэффициенты не равны 0, т.е. с0≠0 с1≠0 с2≠0 …, т.е. статическая система в любых режимах работы, в т.ч. и в покое будет иметь ошибки
Этот способ исключает первые коэффициенты в ряду ошибок. Действительно:

v=1 (астатическая САУ с астатизмом первого порядка)
v=2 (астатическая САУ с астатизмом второго порядка)
с0=0 с1≠0 с2≠0 …, т.е. такая система не будет иметь ошибки в режиме покоя.
с0=0 с1=0 с2≠0 с3≠0 …, такая система не будет иметь ошибок не только в режиме покоя, но и при линейно-нарастающем сигнале

К сожалению, этот способ также снижает запасы устойчивости САУ. Действительно:
По критерию Найквиста системы при v=0, v=1 могут быть как устойчивыми так и не устойчивыми, но при v=2 они становятся не устойчивыми при любых коэффициентах К.

3. Повышение точности САУ с использованием принципов комбинированного управления.
Принцип комбинированного управления состоит в том, что в дополнение к принципу обратной связи реализуется принцип управления по возмущению.
Измеритель
Регулятор
Объект
y(t)
x(t)
V(t)

Здесь сочетается (комбинируются) оба названных принципа:
Управление по возмущению (за счет измерения возмущения v(t) и выработки дополнительного управляющего сигнала компенсирующего действия возмущения);
Управление по отклонению или принцип обратной связи реализуется за счет главной отрицательной обратной связи и сигнала рассогласования и регулятора.

Wэ(S)
Рассмотрим следящую систему с комбинированным управлением и найдем передаточную функцию обычной системы эквивалентной по точности.
Wэ(S)
≡
y(s)
W2(S)
x(s)
W1(s)
W3(S)

Для этого приравняем их передаточные функции.
(1)

Из (1) после некоторых преобразований можно получить:
(2)
Как видно из последнего выражения, при: (3)
wэ(s)=∞
Условие (3) называется условием полной инвариантности.

Это означает, что ошибка рассматриваемой комбинированной следящей системы будет равна 0 в любых режимах работы поскольку:

Достоинство принципа комбинированного управления в том, что он не изменяет (не ухудшает) устойчивости и качества переходных процессов. Однако, реализовать точно условие полной инвариантности практически невозможно.

ПРИМЕР
Пусть:
Найдем:

y(s)
Структурная схема такой комбинированной следящей системы имеет вид:
y(s)
w1(s)
x(s)
III
II
I