Расчет переходных процессов в электрических цепях классическим методом презентация

Условие задачи
Рассчитать все переходные токи цепи и переходное напряжение на катушке индуктивности, построить временные зависимости входного тока электрической цепи и напряжения на катушке индуктивности.

Исходные данные:

РЕШЕНИЕ
Составим систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для режима после коммутации:

Принимаем за базовое уравнение (3) и при помощи уравнений (1) и (2) выразим ток i1 через ток i3

Уравнение (5) подставим в уравнение (3)

В полученное уравнение подставим
числовые значения:

Искомый ток
определяется суммой двух
решений:
принуждённой и
свободной
составляющими:

Искомый ток в установившемся после коммутационном режиме является постоянным, так как источник ЭДС –
постоянный во времени.
Расчёт принуждённой составляющей
Следовательно, производная тока в уравнении (6) для установившегося режима обращается в ноль.

Второй способ определения установившегося тока
Рассмотрим заданную электрическую цепь
после коммутации в установившемся режиме.
Тогда:

Е
R3
R2
L
R1
i1пр
i2пр.
i3пр.
Определим ток i3пр при помощи метода эквивалентных преобразований

Е
R1
i1пр

Е
R1
i1пр
R23
RЭКВ

i1пр
i3пр.

Определяем корень алгебраического уравнения:
Уравнение (6) приводим к однородному и алгебраизируем его:
Расчёт cвободной составляющей
0
p

Вид решения для свободной составляющей тока:
Полное решение для
искомого тока:

Определяем постоянную интегрирования А при помощи начальных условий и закона
коммутации.
В соответствии с
I законом коммутации:

Тогда для момента времени t = 0
уравнение (7) приобретает
следующий вид:
В данном случае,
так как до коммутации источник отключён от цепи.
Следовательно, в момент коммутации

А = – 4
×0
Полное решение искомого тока
i3 (t) = 4 – 4е –150t
(0)
0

Определим остальные токи схемы при помощи исходной системы уравнений.
i1 (t) = 8 – 2е –150t
i1 = 6 + 2 – 2е-150t
Из уравнения (5) определим ток i1:
i3 (t) = 4 – 4е –150t

i2 = 12 – 8 + 2е –150t
Из уравнения (4) определим ток i2 :
i2 (t) = 4 + 2е –150t
i1 = 8 – 2е –150t

i1 (t) = 8 – 2е –150t
i2 (t) = 4 + 2е –150t
i3 (t) = 4 – 4е –150t
+
=
Проверка:

Определим закон изменения напряжения на катушке индуктивности
uL (t) = 60е –150t
i3 (t) = 4 – 4е –150t

Шаг изменения времени для построения графических зависимостей:
Определим время переходного процесса:

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ №2

Методические указания с требованиями по оформлению
и вариантами
расчётно-графической работы
приведены на сайте
http:// vinokurovuniver.jimdo.
com

Номер варианта
определяется
трёмя последними цифрами
зачётной книжки
студента

первая цифра — соответствует номеру строки из таблицы 1 вторая цифра — соответствует номеру строки из таблицы 2
третья цифра — соответствует номеру схемы

Таблица 1

Таблица 2

R1
E
C
R2
R3
L
№1
E
R1
L
C
R2
R3
№6
L
C
R1
R2
R3
E

Проверил: доцент ВИНОКУРОВ М.Р.
ТАБЛИЦА ОТВЕТОВ
г. Ростов – на – Дону 20__ – 20 __ учебный год

Содержание работы:
1. Рассчитать все переходные токи цепи и переходные напряжения на конденсаторе и на катушке индуктивности классическим методом.
2. Составить систему дифференциальных уравнений для метода переменных состояния и рассчитать ток в катушке индуктивности и напряжение на конденсаторе при помощи специализированной программы.

3. Построить временные зависимости в одной системе координат по результатам, полученными двумя методами для:
тока в ветви с индуктивностью;
напряжения на конденсаторе.
4. Результаты расчетов занести в таблицу ответов на титульном листе.

В качестве примера рассмотрим вариант задачи со следующими исходными данными:
R1 = 20 Ом; R2 = 30 Ом;
R3 = 10 Ом;
L = 0,125 Гн; С = 0,00013 Ф;
Е = 100 В

uL(t)
uC (t)

1. Расчёт всех переходных токов цепи и переходных напряжений на конденсаторе и на катушке индуктивности классическим методом

РЕШЕНИЕ
Составим систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов
и напряжений по законам Кирхгофа для режима после коммутации:
Уравнение (2) принимаем за БАЗОВОЕ

Cформируем неоднородное дифференциальное уравнение относительно переменной uC (t)
Для этого установим связь всех переменных уравнения с переменной uC (t)

Выразим ток i2 из уравнения (3)
С учётом того, что

Выразим напряжение на
катушке индуктивности:

Группируем полученное уравнение и формируем неоднородное дифференциальное
уравнение 2 порядка относительно
напряжения на конденсаторе:
С учётом числовых значений уравнение принимает вид:

Полное решение для
напряжения на конденсаторе:

Исходное дифференциальное уравнение в этом случае принимает вид:
Расчёт принуждённой составляющей
Так как источник ЭДС – постоянный во времени, то

Расчёт свободной составляющей
Алгебраизируем однородное дифференциальное
уравнение:
Преобразуем исходное неоднородное
дифференциальное уравнение к однородному

Решение квадратного уравнения вида:

Комплексно-сопряжённые корни указывают на колебательный или периодический затухающий
переходный режим

Вид решения для свободной составляющей и полное решение для uc Полученное решение для нулевого момента времени ( t = 0) :

В качестве такого уравнения может быть использовано уравнение для тока, протекающего в ветви с конденсатором:

Для нулевого момента времени ( t = 0) :

Система уравнений, состоящая из уравнений (4) и (5), позволяет определить постоянные
интегрирования А и γ :

Если корни дифференциального
уравнения отрицательные, вещественные и разные, то такой переходный процесс называется
апериодическим
НАПРИМЕР:

Вид решения для свободной составляющей и полное решение для uc
в данном случае имеют вид:
Для нулевого момента времени( t = 0):

В качестве такого уравнения и в данном случае может быть использовано уравнение для тока, протекающего в ветви с конденсатором:

Для нулевого момента времени ( t = 0) :

Для совместного решения
этих уравнений
[ как и уравнений (4) и (5)] необходимо определить значения величин в левой части уравнений т.е.

Е
R1
R2
R3
i1(t)
i2(t)
i3(t)
Выполним расчёт заданной схемы до коммутации
( для момента времени t = 0_ )
i1(0_ )
i2(0_ )
i3(0_ )
i1(0_ ) = 0;
i2(0_ ) = 0;
i3(0_ ) = 0;
uС(0_ ) = 0;
uL(0_ ) = 0

В данном случае искомые независимые начальные условия являются нулевыми, т.е.:
uC(0_ ) = 0; i1(0_ ) = 0
В соответствии с законами коммутации:
uC (0) = 0; i1(0) = 0

Исходная система уравнений для момента времени t = 0 может быть преобразована с учётом независимых начальных условий:
0

Из уравнения (1)
Из уравнения (3)

Из уравнения (1):
Из уравнения (2):
i2 (0) = – i3(0) = 0

По результатам расчёта приведённой схемы в момент коммутации (t = 0 )
получаем следующие результаты:
i1(0) = 0;
i2(0) = 0;
i3(0) = 0;
uС(0) = 0;
uL (0) = 100 В

Уравнения (4) и (5) могут быть теперь решены совместно:
0 = – 0,0268 × A × sinγ + 0,02412 × A × cosγ
0 = 60 + A × sin γ

0 = – 0,0268 ×A× sinγ
+ 0,02412 ×A× cosγ
0 = 1,608 – 1,447ctg γ

2. Вывод системы дифференциальных уравнений для метода переменных состояния и расчёт тока в катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе при помощи специализированной программы.

на каждом из которых значение переменной определяется с помощью линейной комбинации некоторых вспомогательных функций с постоянными коэффициентами.
В основу программы положен метод Рунге – Кутта — метод численного решения уравнения состояния,
при котором
разбивается на « n » малых участков

Достаточно получить следующие функциональные зависимости:

РЕШЕНИЕ

Выразим ток i2 из уравнения (1)
Подставим ток i2 в уравнение (3)

k – номер шага итерации
k = 0, 1, 2, ……. n

После подстановки числовых значений получим:

С помощью специализированной программы выполняется совместное решение полученных итерационных уравнений:
При следующих начальных условиях:

Порядок обращения к программе

3. Построение временных зависимостей
напряжения на конденсаторе и тока в ветви с индуктивностью в одной системе координат по результатам, полученным двумя методами

(программа КПП)

При возникновении апериодического
переходного процесса (АПП) следует обратиться к соответствующей программе и ввести значения требуемых коэффициентов