Рекуррентные оптимальные алгоритмы фильтрации случайных процессов. Фильтр Калмана-Бьюси презентация

На предыдущих лекциях мы обсудили вопросы дискретной фильтрации случайных последовательностей
.

Содержание
Случайные процессы и методы их описания.
Понятие формирующего фильтра и его свойства.
Постановка и общее решение задачи оптимальной линейной фильтрации. Фильтр Калмана-Бьюси.
Связь непрерывных и дискретных алгоритмов фильтрации.

Случайные процессы и методы их описания

Случайным процессом x(t) в скалярном случае называется такая функция времени t, значение которой при любом фиксированном времени t является случайной величиной.
Корреляционная функция случайного процесса
. (1)
Стационарным процессом в широком смысле называется такой процесс, у которого математическое ожидание от времени не зависит, а корреляционная функция зависит от разности аргументов
; . (2)
Случайные процессы и методы их описания
Определение случайного процесса

Рассмотри КФ стационарного процесса вида
. (3)
– который называется экспоненциально-коррелированным. Здесь kx(0)=σx2 – дисперсия процесса, а τk =1/α – интервал корреляции.
τk =1
τk =10
Экспоненциально-коррелированный процесс
Случайные процессы и методы их описания

Спектральная плотность также используется для описания стационарных процессов и представляет собой преобразование Фурье от КФ
. (4)
Справедливо и обратное представление
. (5)
В силу четного характера функций Sx (ω) и kx(τ), приведенные соотношения можно записать:
(6)
(7)
Спектральная плотность случайного процесса
Случайные процессы и методы их описания

Спектральная плотность, соответствующая этой функции, имеет вид
(9)
При изменении ω от 0 до α значения спектральной плотности уменьшаются в два раза от Sx (0)=2σx2 / α до Sx (α)=σx2 / α .
Получим выражение для спектральной плотности экспоненциально-коррелированного процесса, с корреляционной функцией
(8)
Пример
Случайные процессы и методы их описания

ω
Sx (ω)
Область, ограниченная СП и осью абсцисс определяет дисперсию процесса с точностью до постоянного коэффициента
(10)
Случайные процессы и методы их описания
Свойство спектральной плотности

Процесс с постоянной спектральной плотностью во всем диапазоне частот, для которого Sx (ω)=Q, называется белым шумом (БШ). Величина Q называется интенсивностью БШ.
Корреляционная функция БШ имеет вид
(11)
вид который вытекает из следующего представления о дельта-функции
(12)
Особенности БШ:
дисперсия БШ бесконечна;
значения процесса в разные моменты времени не коррелированны.
Случайные процессы и методы их описания
Белый шум