Теория и свойства меркаторской проекции презентация

1. Требования, предъявляемые к морским навигационным картам
При выборе проекции для построения той или иной карты всегда исходят из требований обеспечения решения задач, для которых она предназначается.
Картографическая проекция морских навигационных карт должна быть наиболее удобной для их использования в море, т. е. для решения основных задач по обеспечению безопасности судовождения наиболее простыми способами и приемами.
Исходя из этого, картографическая проекция морских навигационных карт должна удовлетворять следующим требованиям:
*линия пути судна, идущего постоянным курсом, т. е. локсодромия, изображалась прямой линией;
*величина углов, измеряемых с судна между разными ориентирами на местности, соответствовала величинам углов между теми же ориентирами на карте, т. е. проекция карты должна быть равноугольной;
*масштаб в пределах карты изменялся в возможно малых пределах т. е. искажения длин на карте не превышали ошибок графических построений и измерений на карте, выполняемых с помощью прокладочного инструмента.

Удовлетворяющие этим требованиям карты построены по проекции, предложенной в 1569 г. голландским картографом Герардом Кремером, известным под именем Меркатора, поэтому эта проекция называется меркаторской.
Меркаторская проекция является равноугольной цилиндрической проекцией, на ней земные меридианы и параллели изображаются прямыми, взаимно перпендикулярными линиями, а локсодромия — прямой, составляющей с меридианами один и тот же угол.

2. Математическое обоснование принципа меркаторской проекции
Представим, что изображение Земли выполнено в виде глобуса, меридианы на нем сделаны из стальных упругих проволок, закрепленных у полюсов, а параллели — из растягивающегося материала, скрепленные с меридианами.
Меридианы и параллели окрасим краской и освободим крепления проволочных меридианов у полюсов. Тогда меридианы выпрямятся, а параллели растянутся и на внутренней поверхности цилиндра как бы отпечатаются.

Теперь разрежем цилиндр по образующей (по одному из меридианов); на нем будет нанесена прямоугольная сетка (следы параллелей и меридианов), в которой длина меридианов осталась неизменной, а каждая параллель растянулась до длины экватора. При этом параллель, близкая к экватору, растянется меньше, а с увеличением широты растяжение параллелей увеличивается все значительнее. Остров К круглой формы, который был на глобусе, на развернутой плоскости цилиндра спроектируется в виде овала. Для сохранения подобия изображения на глобусе и проекции его на плоскости необходимо соответственно вытянуть по длине и меридианы.

Для доказательства этого положения рассмотрим, где обозначим радиус параллели пm через r, широту этой параллели ϕ, радиус глобуса R.
Из треугольника mОе, в котором сторона
Ое = r, получим r = R * cos ϕ,
a R = r * 1/cos ϕ или R = r * sec ϕ.
Умножив обе части равенства на 2?, получим 2?R = 2?r*sec ϕ.
Следовательно, каждая параллель на карте цилиндрической проекции растягивается на величину, пропорциональную секансу своей широты. Поэтому для сохранения подобия фигур на карте фигурам на местности отрезки меридианов необходимо растянуть пропорционально sec ϕ, чем будет достигнута равноугольность проекции.

3. Меридиональные части
Расстояния по меридиану от экватора до данных параллелей на меркаторской карте, выраженные в линейных единицах, называются меридиональными частями.
Они обозначаются буквой D.
Для удобства меридиональные части выражают длиной дуги экватора, называемой экваториальной милей.
В табл. 2.28а (МТ—2000) длина меридиональных частей рассчитана применительно к эллипсоиду Красовского.
Значения в таблице вычислены для широт от 0 до 89° 59' через 1' широты с точностью до 0,1 экваториальной мили.
Для определения величины меридиональных частей на промежуточных значениях минуты широты (для десятых долей 1') применяют простое интерполирование.

Расстояние по меридиану на меркаторской проекции между двумя параллелями, выраженное в экваториальных милях, называется разностью меридиональных частей (РМЧ) и обозначается AD.
Разность меридиональных частей двух параллелей равна алгебраической разности меридиональных частей этих параллелей
AD=D2-D1
Меридиональные части используют при построении картографической сетки морских карт в меркаторской проекции, а разность меридиональных частей входит в одну из основных формул письменного счисления
Разность меридиональных частей двух параллелей, отстоящих друг от друга на 1', даст нам длину отрезка, изображающего на карте меркаторской проекции одну экваториальную минуту в данной широте.
Эта разность меридиональных частей представляет не что иное, как изображение одной морской мили на карте меркаторской проекции. Меркаторской милей пользуются как единицей линейного масштаба для измерения широт и расстояний на карте меркаторской проекции.
Поскольку морская миля, как это было указано ранее, имеет постоянную величину на поверхности Земли, то она на морской карте меркаторской проекции изображается отрезками различной длины, в зависимости от широты места, к которому она относится.

Поэтому при измерении по морской навигационной карте расстояний между какими-либо точками необходимо расстояния в одну милю или в несколько миль брать всегда с боковой рамки карты в той же самой широте, в какой расположены точки.
Практически для измерения расстояний на карте меркаторской проекции пользуются длиной меркаторской мили, соответствующей средней широте измеряемой линии.
Если принимать Землю за шар, то МЧ вычисляется по формуле
Для сфероида надо учесть сжатие Земли и формула для МЧ примет вид:
Где - эксцентриситет эллипсоида вращения;
а, в - большая и малая полуоси земного эллипсоида.

Какая территория больше по площади: Гренландия, помеченная серым, или Австралия (коричневым)

Площадь Австралии составляет 7,7 млн км2, а площадь Гренландии — только 2,1 млн км2. Так что Гренландия кажется такой большой только на нашей карте, а в действительности она меньше Австралии примерно в три с половиной раза. Сравнивая эту карту с глобусом, можно заметить, что чем дальше от экватора находится территория, тем сильнее она растянута.

Мореплаватели XIII–XVI века пользовались портуланами — картами, на которых изображался бассейн Средиземного моря, а также лежащие за Гибралтаром побережья Европы и Африки. На такие карты была нанесена сетка румбов — линий постоянного направления. Пусть капитану нужно проплыть в открытом море от одного острова до другого. Он прикладывает к карте линейку, определяет курс (например, «на юго-юго-восток») и отдаёт рулевому приказ держать этот курс по компасу.

Идея Меркатора состояла в том, чтобы сохранить принцип прокладки курса по линейке и на карте мира. То есть, если держать по компасу постоянное направление, то путь на карте будет прямой. Но как это сделать? И здесь на помощь картографу приходит математика.
Мысленно разрежем глобус на узкие полоски по меридианам, как показано на рисунке. Каждую такую полоску можно без особых искажений развернуть на плоскости, после чего она превратится в треугольную фигуру — «клин» с искривлёнными боковыми сторонами.

Однако глобус при этом оказывается рассечённым, а карта должна быть сплошной, без разрезов. Чтобы этого добиться, разделим каждый клин на «почти квадраты». Для этого из нижней левой точки клина проведём отрезок под углом 45° до правой стороны клина, оттуда проведём горизонтальный разрез до левой стороны клина — отрезали первый квадрат. Из точки, где кончается сделанный разрез, снова проведём отрезок под углом 45° до правой стороны, потом горизонтальный — до левой, отрезая следующий «почти квадрат», и так далее. Если исходный клин был очень узким, «почти квадраты» будут отличаться от настоящих квадратов совсем незначительно, поскольку их боковые стороны будут почти вертикальными.

Выполним завершающие действия. Выпрямим «почти квадраты» до настоящей квадратной формы. Как мы поняли, искажения при этом можно сделать сколь угодно малыми, уменьшая ширину клиньев, на которые мы режем глобус. Квадраты, прилежавшие на глобусе к экватору, выложим в ряд. На них уложим по порядку все остальные квадраты, растянув их перед этим до размеров приэкваториальных квадратов. Получится сетка из квадратов одного размера. Правда, при этом параллели, равноотстоящие на карте, уже не будут равноотстоящими на глобусе. Ведь чем дальше исходный квадрат на глобусе отстоял от экватора, тем большему увеличению он подвергся при переносе на карту.
Однако углы между направлениями при таком построении останутся неискажёнными, потому что каждый квадрат практически только изменился в масштабе, а направления при простом увеличении картинки не меняются. И именно этого добивался Меркатор, когда он придумывал свою проекцию!
Капитан может прокладывать свой курс на карте по линейке и вести по этому курсу свой корабль. При этом корабль будет плыть по линии, идущей под одним и тем же углом ко всем меридианам. Эта линия называется локсодромией.
Плавание по локсодромии очень удобно, поскольку оно не требует никаких специальных расчётов. Правда, локсодромия не является кратчайшей линией между двумя пунктами на земной поверхности.
Такую кратчайшую линию можно определить, натянув на глобусе нитку между этими пунктами.