Дифференциальные уравнения презентация

Если искомая функция зависит от одной
переменной, то дифференциальное уравне-
ние называется обыкновенным, если от не-
скольких – то уравнением в частных
производных.
В общем случае дифференциальное уравне-
ние можно записать в виде

где
- некоторая функция от
переменных, при этом порядок старшей
производной, входящей в запись уравнения,
называется порядком дифференциального
уравнения.
Решением дифуравнения называется такая
функция , которая при подстановке
ее в это уравнение обращает его в
тождество.

Задача о нахождении решения некоторого
дифференциального уравнения называется
задачей интегрирования дифференциального
уравнения. График решения диффуравнения
называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального
уравнения п - го порядка называется такое
его решение:
которое является функцией переменной х и n
произвольных независимых постоянных
С1, С2, ..., Сn.

Частным решением дифференциального
уравнения называется уравнение, получаемое
из общего решения при некоторых конкретных
числовых значениях постоянных С1, С2, ..., Сn.
В приведенном примере
общее решение,
частное решение уравнения.

Дифференциальные уравнения первого
порядка
Такие уравнения имеют вид:
где
- функция двух переменных,
определенная на плоскости ОХУ.
Методы решения таких переменных:
1. Уравнение
Его можно
представить в виде
Интегрируя, получим решение

2. Уравнение
Ищем решение в
виде
т.е. считаем, что переменная
обозначает независимую переменную, а
переменная
- функцию. Поскольку
то уравнение можно записать в
виде

3. Если дифференциальное уравнение имеет
вид
то
и,
интегрируя, получаем:
откуда
Пример. Решить уравнение

Имеем
или
откуда
Выполнив преобразования, получим
Окончательно

Дифференциальное уравнение первого
порядка называется уравнением с разделяю-
щимися переменными, если оно может быть
представлено в виде:
где
функции переменных
Для решения такого уравнения его приводят
к виду

Однородные дифференциальные
уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого
порядка называется однородным, если оно
может быть представлено в виде, когда в
левой части уравнения находится производная,
а правая часть есть функция частного у/х:
Основной метод решения таких уравнений –
это введение в рассмотрение вспомогательной
функции и = у/х, что позволяет свести это
уравнение к уравнению с разделяющимися
переменными.

Пример. Решить уравнение
введя переменную
имеем

Выполнив преобразования, в итоге получим
Дифференциальное линейное уравнение
первого порядка
Дифференциальное уравнение первого
порядка называется линейным, если оно имеет
вид:
где некоторые функции переменной.
В случае, когда функция тождественно
равна нулю, уравнение называется однород-
ным. В противном случае - неоднородным.

Пример. Решить уравнение
Вначале решаем однородное уравнение
где С – произвольная постоянная.
Теперь возьмем функцию
где
неизвестная функция.
Определим производную

Подставляя значения
в исходное
выражение и произведя преобразования,
получим
Интегрируя, имеем
где А – произвольная постоянная.
Окончательно:

Дифференциальные уравнения второго
порядка
Дифференциальным линейным уравнением
второго порядка называется уравнение вида:
где - функции переменной х.
Если то уравнение неоднородное.
Если , то уравнение однородное.
Если функции равны постоянным
коэффициентам а и Ь, то полученные уравне-
ния называются уравнениями с постоянными
коэффициентами.

Дифференциальные уравнения
второго порядка, допускающие понижение
порядка
В некоторых случаях решение дифференци-
ального уравнения второго порядка может
быть сведено к последовательному решению
двух дифференциальных уравнений первого
порядка. В этом случае говорят, что данное
дифференциальное уравнение допускает
понижение порядка. Если дифференциальное
уравнение имеет вид:
то оно решается последовательным
интегрированием.

Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами
Линейной комбинацией функций
с коэффициентами С1 и С2 называется
выражение вида
Функции являются линейно
независимыми, если их отношение
непостоянно. В противном случае функции
являются линейно зависимыми.

Для решения линейных уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами
используется следующая теорема. Если - линейно независимые частные
решения линейного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами вида:
то общее решение является линейной
комбинацией этих частных решений:

Если характеристическое уравнение
имеет действительные корни , причем
, тогда общее решение уравнения, имеет
вид:
Если характеристическое уравнение имеет
один корень (кратности 2), то общее решение
уравнения имеет вид:
Если характеристическое уравнение не имеет
действительных корней, то общее решение
уравнения имеет вид:
где некоторые числа

где
Метод Рунге – Кутта
Связь между соседними значениями функции
дает равенство:
Для применения метода используется общий
подход. Фиксируют некоторые числа:
Приближенное значение интеграла вычисляет-
ся численными методами.

Последовательно вычисляют:
……..
и полагаем

Рассмотрим вопрос о выборе параметров
Пусть
Предполагаем, что
а
для некоторой функции
По формуле Тэйлора имеем:
где

При
Имеем:
Погрешность на шаге:

На практике наиболее часто используют
метод Рунге-Кутта с
В этом случае расчетные формулы:

Погрешность рассмотренного метода
Рунге-Кутта на шаге пропорциональна пятой
степени шага.
Пример. Методом Рунге-Кутта найти решение
задачи Коши для уравнения
в первых пяти точках, взяв
Т.к.
поэтому

Далее находим:
Вычислим