Слайд 2
![Понятие конечных разностей Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [x0,xn],](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-1.jpg)
Понятие конечных разностей
Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [x0,xn], который разбит
на n одинаковых отрезков (случай равноотстоящих значений аргумента). Δx=h=const. Для каждого узла x0, x1=x0+h, ..., xn=x0+n⋅h определены значения функции в виде:
f(x0)=y0, f(x1)=y1, ..., f(xn)=yn.
Слайд 3
![Понятие конечных разностей Конечные разности первого порядка Δy0 = y1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-2.jpg)
Понятие конечных разностей
Конечные разности первого порядка
Δy0 = y1 – y0
Δy1
= y2 – y1
. . . . .
Δyn-1 = yn – yn-1.
Конечные разности второго порядка
Δ2y0 = Δy1 – Δy0
Δ2y1 = Δy2 – Δy1
. . . . . .
Δ2yn-2 = Δyn-1 – Δyn-2
Аналогично определяются конечные разности высших порядков:
Δky0 = Δk-1y1 – Δk-1y0
Δky1 = Δk-1y2 – Δk-1y1
. . . . . .
Δkyi = Δk-1yi+1 – Δk-1yi , i = 0,1,...,n-k.
Слайд 4
![Понятие конечных разностей Конечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут быть: Диагональными; Горизонтальными.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-3.jpg)
Понятие конечных разностей
Конечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут
быть:
Диагональными;
Горизонтальными.
Слайд 5
![Диагональная таблица](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-4.jpg)
Слайд 6
![Горизонтальная таблица](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-5.jpg)
Слайд 7
![Первая интерполяционная формула Ньютона Пусть для функции y = f(x)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-6.jpg)
Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть для функции y = f(x) заданы значения
yi = f(xi) для равностоящих значений независимых переменных: xn = x0 +nh, где h - шаг интерполяции.
Необходимо найти полином Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) xi значения:
Pn (xi) = yi , i=0,...,n.
Запишем интерполирующий полином в виде:
Слайд 8
![Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-7.jpg)
Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий:
Pn(x0)=y0
Pn(x1)=y1
. . . .
Pn(xn)=yn
Слайд 9
![Определение коэффициентов Полагаем в интерполирующий полиноме x = x0 ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-8.jpg)
Определение коэффициентов
Полагаем в интерполирующий полиноме x = x0 , тогда, т.к.
второе, третье и другие слагаемые равны 0,
Pn(x0) = y0 = a0 a0=y0.
Найдем коэффициент а1.
При x = x1 получим:
Слайд 10
![Определение коэффициентов Для определения а2 составим конечную разность второго порядка. При x = x2 получим:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-9.jpg)
Определение коэффициентов
Для определения а2 составим конечную разность второго порядка.
При x =
x2 получим:
Слайд 11
![Построение многочлена Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-10.jpg)
Построение многочлена
Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид.
Подставляя эти
выражения в формулу полинома, получаем:
где xi ,yi – узлы интерполяции; x – текущая переменная; h – разность между двумя узлами интерполяции
h – величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.
Слайд 12
![Первая интерполяционная формула Ньютона Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-11.jpg)
Первая интерполяционная формула Ньютона
Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции
в начале таблицы (интерполирование «вперед») или первым полиномом Ньютона.
Слайд 13
![Первая интерполяционная формула Ньютона Для практического использования этот полином записывают](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-12.jpg)
Первая интерполяционная формула Ньютона
Для практического использования этот полином записывают в преобразованном
виде, вводя обозначение t=(x – x0)/h, тогда
Эта формула применима для вычисления значений функции для значений аргументов, близких к началу интервала интерполирования.
Слайд 14
![Пример Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-13.jpg)
Пример
Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры Cр =f(T).
Определить значение теплоёмкости в точке Т=450 К, n=3; h=100
Таблица 1
Слайд 15
![Пример Составим таблицу конечных разностей функции. Таблица 2 Воспользуемся первой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-14.jpg)
Пример
Составим таблицу конечных разностей функции.
Таблица 2
Воспользуемся первой интерполяционной формулой, запишем интерполяционный
многочлен при x=450 К.
Слайд 16
![Пример Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет: Сp(450)=71,31Дж/(моль](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-15.jpg)
Пример
Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет:
Сp(450)=71,31Дж/(моль ⋅ К)
.
Значение теплоемкости при Т=450 К получили такое же, что и рассчитанное по формуле Лагранжа.
Слайд 17
![Вторая интерполяционная формула Ньютона](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-16.jpg)
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Слайд 18
![Область применения Второй интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-17.jpg)
Область применения
Второй интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений функций в
точках, расположенных в конце интервала интерполирования.
Запишем интерполяционный многочлен в виде:
Слайд 19
![Определение коэффициентов Коэффициенты а0,а1,..., аn определяем из условия: Pn (xi](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-18.jpg)
Определение коэффициентов
Коэффициенты а0,а1,..., аn определяем из условия:
Pn (xi ) =
yi i=0,...,n.
1.Полагаем в интерполяционном многочлене x = xn,, тогда
Слайд 20
![Определение коэффициентов 2.Полагаем x=xn-1, тогда: Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn) , h=xn](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-19.jpg)
Определение коэффициентов
2.Полагаем x=xn-1, тогда:
Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn) , h=xn – xn-1
,
Следовательно:
3.Полагаем x=xn-2 , тогда
Слайд 21
![Определение коэффициентов Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-20.jpg)
Определение коэффициентов
Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:
Слайд 22
![Вторая интерполяционная формула Ньютона Подставляя эти выражения в формулу (1),](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-21.jpg)
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Подставляя эти выражения в формулу (1), получим вторую
интерполяционную формулу Ньютона или многочлен Ньютона для интерполирования «назад».
Слайд 23
![Вторая интерполяционная формула Ньютона Введем обозначения:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-22.jpg)
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Введем обозначения:
Слайд 24
![Вторая интерполяционная формула Ньютона Произведя замену , получим Это вторая формула Ньютона для интерполирования «назад».](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-23.jpg)
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Произведя замену , получим
Это вторая формула Ньютона для
интерполирования «назад».
Слайд 25
![Пример Вычислить теплоемкость (табл.1) для температуры Т=550 К. Воспользуемся второй](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-24.jpg)
Пример
Вычислить теплоемкость (табл.1) для температуры Т=550 К.
Воспользуемся второй формулой Ньютона и
соответствующими конечными разностями (табл. 2)
Слайд 26
![Пример Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно: Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-25.jpg)
Пример
Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно:
Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).
Слайд 27
![Аппроксимация функций](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-26.jpg)
Слайд 28
![Особенностью интерполяции являлось то, что интерполирующая функция строго проходит через](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-27.jpg)
Особенностью интерполяции являлось то, что интерполирующая функция строго проходит через узловые
точки таблицы, т. е. рассчитанные значения совпадали с табличными: yi=f(xi).
Эта особенность обуславливалась тем, что количество коэффициентов в интерполирующей функции (m) было равно количеству табличных значений (n)
Слайд 29
![Особенности аппроксимации если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим количеством коэффициентов (m](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-28.jpg)
Особенности аппроксимации
если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим
количеством коэффициентов (m
Слайд 30
![Особенности аппроксимации В лучшем случае, она будет проходить каким –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-29.jpg)
Особенности аппроксимации
В лучшем случае, она будет проходить каким – либо образом
между ними и очень близко к ним (рис. 1).
Такой способ описания табличных данных называется аппроксимацией, а функция – аппроксимирующей.
Слайд 31
![Условия применения аппроксимации Когда количество табличных значений очень велико. В](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-30.jpg)
Условия применения аппроксимации
Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае
интерполирующая функция будет очень громоздкой. Удобнее выбрать более простую в применении функцию с небольшим количеством коэффициентов, хотя и менее точную.
Слайд 32
![Условия применения аппроксимации Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-31.jpg)
Условия применения аппроксимации
Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если
требуется описать экспериментальные точки какой- либо теоретической зависимостью.
Слайд 33
![Условия применения аппроксимации Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-32.jpg)
Условия применения аппроксимации
Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от
интерполирующей функции.
Так, на рис.2 точками показаны табличные данные – результат некоторого эксперимента. Разброс данных объясняется погрешностью эксперимента.
Слайд 34
![Условия применения аппроксимации интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/252448/slide-33.jpg)
Условия применения аппроксимации
интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки
эксперимента, иметь множество экстремумов: минимумов и максимумов – и в целом неверно отображать характер зависимости Y от X. Этого недостатка лишена аппроксимирующая функция.