Свойства биссектрисы угла презентация

Повторение (устно вспомни)
Определение биссектрисы угла
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Расстояние от точки до прямой

Решение задачи устно по готовому чертежу
ОС – биссектриса угла АОВ, ОА = ОВ. Доказать, что площадь ∆АОС равна площади ∆ВОС.
О
С
А
В
2
1

Теорема
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Доказательство:
Рассмотрим
∆АКМ и ∆АРМ
1. АМ- общая,
2. ∟1= ∟2.
Значит, ∆АКМ=∆АМР
(по гипотенузе и
острому углу)
Следовательно,
МК = МР.
А
К
Р
М
.
2
1

Теорема (обратная)
Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство:
Рассмотрим
∆АКМ и ∆АРМ
1. АМ- общая,
2. КМ = МР (по условию)
Значит, ∆АКМ=∆АМР (по гипотенузе и катету).
Следовательно
∟1= ∟2.
Отсюда,
АМ - биссектриса.
А
К
Р
М
.
2
1

Следствие:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
A
B
C
D
E
N
O

А
В
С
.
К
L
М
О
.
Е
F
R
Доказательство:
В треугольнике АВС проведём биссектрисы АЕ и ВF.
АЕ∩ВF=О
Проведём перпендикуляры:
ОК, ОL,
ОМ.
ОК= ОМ,
ОК=ОL.
Следовательно ОМ=ОL,
т.е. О равноудалена от
сторон угла АСВ.
Значит О лежит на
биссектрисе СR.

Выучить:
Каждая точка биссектрисы
неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон
Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе
Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке

Проверка первичного усвоения (Решение задач по готовым чертежам)
1)
2)
3)
4)
1
2
4
M
∟1=∟2, МК= 4см.
МР=?
ES=SF,
∟ETS =34 ,
∟ETF - ?
P
К
А
Т
F
E
S
.
А
В
С
Р
РВ = РС,
∟ВАР = 25.
∟ВАС - ?
РА=10,
∟1=∟2,
∟2 =30,
МА=?
М
Р
К
А
2
1
Чёрным проведены перпендикуляры