Слайд 2
![ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ План Основные понятия Решение дифференциальных уравнений I-го](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-1.jpg)
ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
План
Основные понятия
Решение дифференциальных уравнений
I-го порядка
3. Решение
дифференциальных уравнений II-го порядка
4. Задачи на составление диф.уравнений
Слайд 3
![1. Основные понятия Определение: Уравнения, содержащие неизвестную функцию, аргумент этой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-2.jpg)
1. Основные понятия
Определение:
Уравнения, содержащие неизвестную функцию, аргумент этой функции и
ее производные или дифференциалы, называются дифференциальными.
В общем виде Д.У. можно записать так:
Слайд 4
![Решить дифференциальное уравнение Решить Д.У. значит найти функцию, которая при](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-3.jpg)
Решить дифференциальное уравнение
Решить Д.У. значит найти функцию, которая при подстановке
в Д,У., обращает его в тождество, т.е. найти у(х)
Например, решением дифференциального уравнения радиоактивного распада
будет функция: N(t) =N0e-λt
Слайд 5
![Виды уравнений: Обыкновенное Д.У. - если искомая функция есть функция](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-4.jpg)
Виды уравнений:
Обыкновенное Д.У. - если искомая функция есть функция одного аргумента.
Д.У. в частных производных – если искомая функция зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит ее частные производные по этим аргументам
Слайд 6
![например](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-5.jpg)
Слайд 7
![Порядок дифференциального уравнения Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной или дифференциала, содержащегося в этом уравнении.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-6.jpg)
Порядок дифференциального уравнения
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной или
дифференциала, содержащегося в этом уравнении.
Слайд 8
![Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Поэтому решение Д.У. иногда называют общим интегралом](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-7.jpg)
Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Поэтому решение
Д.У. иногда называют общим интегралом
Слайд 9
![Виды решений Д.У. Различают общее и частное решения дифференциального уравнения.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-8.jpg)
Виды решений Д.У.
Различают общее и частное решения дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального
уравнения (ОРДУ) называется такое его решение , которое содержит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок этого уравнения.
Если общее решение дифференциального уравнения получают в неявном виде , то оно называется общим интегралом.
Слайд 10
![Чтобы найти частное решение Д.У. (ЧРДУ), должны быть известны так](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-9.jpg)
Чтобы найти частное решение Д.У. (ЧРДУ), должны быть известны так
называемые начальные условия.
Например, для дифференциального уравнения
ОРДУ будет :
а ЧРДУ будет при условии
Слайд 11
![2. Решение дифференциальных уравнений I-го порядка Расмотрим решение некоторых видов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-10.jpg)
2. Решение дифференциальных уравнений I-го порядка
Расмотрим решение некоторых видов Д.У.:
- уравнения
I –го порядка с разделяющимися переменными
- однородные Д.У. I –го порядка
Слайд 12
![Д.У. I-го порядка с разделяющимися переменными К таким уравнениям относятся](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-11.jpg)
Д.У. I-го порядка с разделяющимися переменными
К таким уравнениям относятся уравнения вида
Путем
алгебраических преобразований данное уравнение приводят к уравнениям вида
Слайд 13
![После интегрирования уравнения находим общее решение дифференциального уравнения или общий интеграл откуда выражаем где ОРДУ:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-12.jpg)
После интегрирования уравнения
находим общее решение дифференциального уравнения или общий интеграл
откуда
выражаем
где ОРДУ:
Слайд 14
![Например: xydx + (x + 1)dy = 0. Разделим переменные](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-13.jpg)
Например: xydx + (x + 1)dy = 0.
Разделим переменные
(x + 1)dy
= – xydx
проинтегрируем обе части уравнения
Слайд 15
![ОИДУ: ОРДУ:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-14.jpg)
Слайд 16
![Запишем алгоритм решения Д.У. 1 порядка с разделяющимися переменными: 1.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-15.jpg)
Запишем алгоритм решения Д.У. 1 порядка с разделяющимися переменными:
1. Выразить производную
из уравнения
2. Записать производную через дифференциалы
3. Разделить переменные (с функцией налево, с аргументом направо)
4. Проинтегрировать обе части Д.У.
5. Из вида первообразных выразить функцию – это будет ОРДУ
Слайд 17
![Д.У. I-го порядка однородные Однородными Д.У. называются уравнения, в которых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-16.jpg)
Д.У. I-го порядка однородные
Однородными Д.У. называются уравнения, в которых производная является
функцией от . То есть
Решаются эти уравнением путем замены переменной
Слайд 18
![Решаются эти уравнением путем замены переменной Отсюда Тогда После такой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-17.jpg)
Решаются эти уравнением путем замены переменной
Отсюда
Тогда
После такой подстановки
уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными
Слайд 19
![Например: Это однородное уравнение, т.к. Обозначим Отсюда Тогда Уравнение будет иметь вид](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-18.jpg)
Например:
Это однородное уравнение, т.к.
Обозначим Отсюда
Тогда
Уравнение будет иметь вид
Слайд 20
![Решаем уравнение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-19.jpg)
Слайд 21
![Теперь интегрируем Т.к.выразить «У» невозможно, то мы получили ОИДУ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-20.jpg)
Теперь интегрируем
Т.к.выразить «У» невозможно, то мы получили ОИДУ
Слайд 22
![ДУ первого порядка линейные неоднородные Используем замену переменной Подставив значения y и в уравнение, получим:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-21.jpg)
ДУ первого порядка линейные неоднородные
Используем замену переменной
Подставив значения y и в
уравнение, получим:
Слайд 23
![Если выбрать v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-22.jpg)
Если выбрать v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в
нуль, т.е.
то для второй функции u(x) получится уравнение
После этого найдем
Слайд 24
![ДУ в полных дифференциалах Если предположить, что это полный дифференциал](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/57539/slide-23.jpg)
ДУ в полных дифференциалах
Если предположить, что это полный дифференциал какой-то функции
U(x,y),
То
Причем, U(x,y)=const и