Понятие движения в геометрии презентация

Определение движения пространства
Определение симметрии, виды симметрии.
Осевая симметрия. Теорема.
СОДЕРЖАНИЕ:

Движение (перемещение) плоскости - это отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между точками.
Симметрия – (от греч.) соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей.

Симметрия простейших фигур
Осевой симметрией с осью a называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей точку M1 относительно оси a.

Докажем , что осевая симметрия является движением. Для этого введём прямоугольную систему координат Oxyz.

Обозначим точку О – цент симметрии и введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом в точке О
2) Установим связь между координатами двух точек M(x;y;z) и M(x1;y1;z1), симметричных Oz
3) Если М не лежит на оси Oz, то Oz проходит через середину отрезка ММ1 и Oz перпендикулярна ММ1

Координаты середины отрезка
в пространстве

4) Из первого условия по формуле для координат середины отрезка получаем (x+x1)/2=0 и (y+y1)/2=0, откуда x1=-x; y1=-y
5) Второе условие означает, что аппликаты (аппликатой точки называется координата этой точки на оси OZ в прямоугольной трёхмерной системе координат)
точек М и М1 равны: z1=z

Рассмотрим любые две точки A(x1; y1; z1) и B(x1; y2; z2) и докажем, что расстояние AB=А1В1
Точки А1(-x1; -y1; z1) и B1(-x2; -y2; z2)

По формуле расстояния между двумя точками находим:
тогда АВ=А1В1,
что и требовалось доказать.

Доказательство:
Пусть A и B — две произвольные точки фигуры F.
При симметрии относительно точки O фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1.
Рассмотрим треугольники AOB и A1OB.
1) AO=OA1
2) BO=OB1 (так как A и A1, B и B1 — точки, симметричные относительно точки O)
3) ∠AOB=∠B1OA1 (как вертикальные)
Следовательно, треугольники AOB и A1OB равны (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1, то есть расстояние между точками сохраняется, а значит, преобразование симметрии относительно точки является движением.
Что и требовалось доказать.
Теорема: Центральная симметрия
является движением

(Теорема)