Задания с производной при подготовке к ЕГЭ презентация

Типы заданий
Геометрический смысл производной
Касательная в точке
Механический смысл производной
Промежутки возрастания-убывания
Локальные экстремумы
Наибольшие/наименьшие значения на отрезке

Геометрический смысл производной (теория)
Следующие величины равны
Значение производной f’(x0) в точке x0
Тангенс угла наклона касательной к графику функции y= f (x0) в точке x0
Угловой коэффициент касательной к графику функции y= f (x0) в точке x0

1. Вычислить производную

2. Вычислить производную

3. Вычислите величину √3 f’(3)

4. Точка касания
На рисунке изображен график производной функции y= f (x). Прямая y= 2x+1 является касательной к графику этой функции. Найдите ординату точки касания.

5. Точка касания
На рисунке изображен график производной функции y= f (x). Прямая y= 3x-4 является касательной к графику этой функции. Найдите ординату точки касания.

Задачи 6-8
Касательная к графику функции y= 3 – 2x – x2 параллельна прямой y= 4x. Найдите абсциссу точки касания.
Касательная к графику функции y= 3 – 2x – x2 проходит через точки А(1, 1) и В(-1, 5). Найдите абсциссу точки касания
Найдите положительное значение параметра b, при котором прямая y= -3 является касательной к графику функции y= 2x2 + bx – 1.

Задачи 9 - 12
Прямая y= x+2 является касательной к графику функции y= аx2 – х + 6 . Найдите а.
Прямая y= 2x является касательной к графику функции y= - x2 +7х + с . Найдите с.
Прямая y= kx + b является касательной к графику функции y= - x2 +4х - 1 в точке А(1,2). Найдите b.
Касательная к графику функции y= x(x-2) проходит через точки А(1, -2) и В(-3, 6). Найдите ординату точки касания

Механический смысл производной
Если s(t) – функция, задающая закон движения материальной точки (пройденный путь в зависимости от времени), то v(t)=s’(t) – мгновенная скорость точки

Движение материальной точки
Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)=1/3 t3 + ½ t2 – 9t +1, где s – расстояние от точки отсчета в метрах, а t – время в секундах с начала движения. Через сколько секунд после начала движения скорость точки будет равна 3 м/с?
Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)=6 + 2t – 0,25t2, где s – расстояние от точки отсчета в метрах, а t – время в секундах с начала движения. Через сколько секунд после начала движения точка остановится?
Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)= 4 + 2t – t2, где s – расстояние от точки отсчета в метрах, а t – время в секундах с начала движения. Какова была начальная скорость точки (в м/с)?

Промежутки возрастания-убывания
Определение возрастающей (убывающей) функции на промежутке
Функция является возрастающей на промежутке ↔ когда ее производная положительна в любой точке промежутка
Функция является убывающей на промежутке ↔ когда ее производная отрицательна в любой точке промежутка

Возрастание/убывание
На рисунке изображен график функции y=f(x). Определите количество целых точек на интервале [-1; 9], в которых производная функции отри­цательна.

Возрастание/убывание
На рисунке изображен график функции y=f(x). Определите количес­тво целых точек на интервале [0; 9], в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 4.

Возрастание/убывание
На рисунке изображен график функции y=f(x). Определите, в какой точке промежутка [5; 9] функция принимает наибольшее значение?

Возрастание/убывание
На рисунке изображен график производной функции y=f(x). Найдите промежутки возрастания данной функции, принадлежащие отрезку [-1,5; 12,5]. (В ответе укажите общее число целых точек на этих промежут­ках).

Возрастание/убывание
На рисунке изображен график производной функции y=f(x). Найдите сумму целочисленных абсцисс точек, лежащих на отрезке [0; 12], в которых данная функция убывает.

Возрастание/убывание
Найдите количество промежутков убывания функции y=f(x), если ее производная имеет вид f’(x) = (x2 – 1)(x2 – 9)(x – 4)2

Локальные экстремумы
Определение максимума (минимума) функции
Точка х0 является точкой максимума функции y=f(x) , если f’(x0)=0 и при переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус.
Точка х0 является точкой минимума функции y=f(x) , если f’(x0)=0 и при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Локальный экстремум
На рисунке изображен график производной функции y=f(x). Найдите целое положительное число n такое, что максимум функции f(x) лежит на отрезке [n,n+1].

Локальный экстремум
На рисунке изображен график производной функции y=f(x). В точке максимума к графику функции проведена касательная, пересекающая ось у в точке с ординатой -1. Найдите сумму абсциссы и ординаты точки касания.

Локальный экстремум
На рисунке изображен график производной функции y=f(x). В точке максимума к графику функции f(x) проведена касательная, пересекающая ось у в точке с ординатой 2,5. Найдите сумму абсциссы и ординаты точки касания.

Локальный экстремум
На рисунке изображен график производной функции y=f(x). Сколько минимумов имеет данная функция на отрезке [-1; 6]?

Локальный экстремум
Найдите количество точек максимума функции y=f(x), если
f’(x) = (x2 + 3x – 4)(x2 – 16)(x2 – 1)

Экстремумы на отрезке
Наибольшее значение функции на отрезке находится как наибольшее из локальных максимумов и значений на границах
Наименьшее значение функции на отрезке находится как наименьшее из локальных минимумов и значений на границах

Экстремумы на отрезке
Найдите точку, в которой функция
y=2x3 + 9x2 – 60x +1 принимает наибольшее значение на промежутке
[-6; 6].
Найдите значение функции
y=1/4x4 - 2x2 +5 в точке максимума
Найдите наименьшее значение функции y=π/√3 - √3 x – 2 cosx + 11 на отрезке [0; π/2]