Задачи на проценты презентация

Развитие рыночных отношений создало объективную потребность создания образовательной среды для формирования экономической культуры подрастающего поколения. Финансовая математика становится неотъемлемой частью общего образования.

Школьные курсы математики почти полностью игнорируют многие элементарные, но очень важные для повседневной жизни приемы анализа экономических процессов.

Одной из таких тем является тема «Проценты». Эта тема является универсальной. Она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы.

Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь, оно атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, финансовых кризисов.

Тема «Проценты» изучается в 6 классе, когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценное представление о процентах, об их роли в повседневной жизни. На дальнейших этапах обучения возвращения к данной теме не предусматривается, хотя задачи на проценты включены в материал итоговой аттестации за курс основной и средней школы, в конкурсные экзамены.

Понимание процентов и умение производить процентные вычисления в настоящее время необходимы каждому человеку. Очень велико прикладное значение этой темы. Она затрагивает финансовую, демографическую, экологическую. Социологическую и другие сферы.

Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель, сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

Место урока в программе
Данный урок предлагается провести в девятом классе в рамках темы «Решение текстовых задач» или в одиннадцатом классе при подготовке к итоговой аттестации в разделе «Повторение». Из всех задач на проценты на данном уроке (спаренном) я предлагаю рассмотреть проценты в банковских расчетах.

Цель урока
1.Сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач
2.Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для общей социальной ориентации и решения практических задач.

Задачи урока
Сформировать умение производить различные процентные вычисления
Научить решать основные задачи на проценты, применять формулы простого и сложного процентного роста
Прививать учащимся основы экономической грамотности

Ход урока
Повторение ранее известных сведений о процентах
Рассмотрение основных типов задач на проценты
Решение задач, связанных с банковскими расчетами
Самостоятельная работа

Историческая справка
Слово « процент » происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает « со ста ».
Знак % произошел, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом « cento » ( сто) и писали его сокращенно – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %.
После этой ошибки математики стали употреблять знак % для обозначения процентов.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ
Эта тема стала весьма популярной на вступительных экзаменах в последние годы. Здесь нужно запомнить:
1) процент величины — одна сотая часть этой величины;
2) если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством a =b:100* p (или a =0,01 b* p );
3) если число a увеличено на p%, то оно увеличено в раз, а если уменьшено на q% , то оно уменьшено в раз.

Основные задачи на проценты
Нахождение процентов от числа
Нахождение числа по его процентам
Процентное отношение двух чисел
Вычисление простых и сложных процентов

Экономико-математический кроссворд
«Проценты и банк»
По горизонтали:
2. Учреждение, хранящее денежные средства.
4. Нецелое число.
5. Сотая часть числа.
6. Страна, в которой впервые появились банковские учреждения.
По вертикали:
1. Денежные вклады в банк.
3. Ссуда.
4. Синоним слова «часть».
2.
3.
6.
5.
1.
4.

Нахождение процентов от числа
Чтобы найти а % от в надо в*0,01а или в:100*а
Например:
Найдите двумя способами 5% от400, 10% от 270
Яблоки при сушке теряют 845 своей массы. Сколько сушеных яблок получится из 300 кг свежих?

Нахождение числа по его процентам
Если известно. Что а % числа х равно в, то х=в:о,01а или х=в:а*100
Например:
Найдите двумя способами число, 40% которого равны 320,число 8% которого равны 400
Из свежих слив получается 355 сушеных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 140 кг сушеных?

Процентное отношение двух чисел
Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100%: а:в*100%
Например:
Сколько процентов составляет 150 от 600, 29 от 100?
Из 800 обследованных школьников 160 оказались с пониженным зрением. Какой процент составляют школьники с пониженным зрением?

Анаграмма
разгадайте зашифрованные слова и уберите лишнее слово, не подходящее по смыслу:
1) ТОП + ДИЕЗ;
2) РЕ + ТИК + Д;
3) Ц + ТОН + РЕ + П;
4) ПО + ПИР + Я + ОР + Ц.
Ответ: 1) ДЕПОЗИТ; 2) КРЕДИТ;
3) ПРОЦЕНТ; 4) ПРОПОРЦИЯ.

Тест
1. (1 балл) Процент - это:
А)тысячная часть числа;
Б)сотая часть числа;
В)десятая часть числа
2. (1 балл) Дробь 1/5 равна
А) 20%
Б) 30%
В) 50%

Тест:
3. (2 балла) 30% от числа 800 равно
А) 24 Б) 240
В) 2400
4. (2 балла) У мамы 250 р. На покупку книги она истратила 10% этой суммы. Мама истратила:
А) 2,5 р. Б) 25 р. В) 5 р.

5. (1 балл) Чтобы найти 25% от числа, надо это число: А) умножить на 25;
Б) разделить на 0,25;
В) умножить на 0,25;
6. (1 балл) 1% дециметра называют: А) миллиметр Б) сантиметр В) метр

7. (3 балла) В магазин привезли 25 ц. фруктов. Яблоки составляют 60%, а груши 20% от общего количества фруктов. Всего в магазин яблок и груш привезли:
А) 20 ц.
Б) 5 ц.
В) 15 ц.

8. Банк начисляет 40% годовых. Какую сумму надо положить в банк, чтобы получить через год 3,5 тыс. руб.?
а) 2,1 тыс. руб.;
б) 87 руб. 50 коп.;
в) 2,5 тыс. руб.

Устные задачи
Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000руб.?

Вкладчик положил на счет в банк 3000руб. и написал поручение ежемесячно перечислять 5% этой суммы за квартплату. Сколько денег останется на его счете через 8 месяцев?

При выдаче наличных рублей по дорожным чекам AMERICAN EXPRESS выписываемых в долларах, банк удерживает 2% в качестве комиссионных. Какова будет сумма в рублях, если клиент заказал 400$ и курс обмена 30,4руб. в месяц ?

Сбербанк начисляет по вкладам ежегодно 110%. Вкладчик внес в сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года?

Простой и сложный процентный рост
Проценты могут рассчитываться по –разному в зависимости от вида, характера и срока ссуды. Одно из основных отличий заключается в выборе исходной базы для начисления процентов.
Если проценты начисляются по отношению к исходной сумме, то это простой процентный рост.
Если проценты начисляются по отношению к величине, включающей первоначальную сумму и проценты, начисленные за прошедший период, то это сложный процентный рост.

Условные обозначения:
P – первоначальная сумма
i – ставка простого процента I – проценты за весь срок
T – срок ссуды
S – сумма к концу срока
t – период начисления
n=T/t – количество периодов начисления
P*I – начисленные проценты за один период начисления

Формула простых процентов
S = P + P*i*n = P* (1 + i*n)
Множитель (1 + i*n) называется множителем наращения простых процентов.

Рассмотрим пример:
Вы берете в банке ссуду 100000 рублей на два года под 16%. Необходимо определить какую сумму вы вернете банку к концу срока.
P=100000, T=2, i=16, n=2:1=2
Тогда I=P*i*n=100000*0,16*2=32000
S=P+I=100000+32000=132000
Таким образом, при исчислении по методу простых процентов при ставке 16% годовых, с суммы в 100000 рублей вы должны будете вернуть банку 132000 рублей.

Сложный процентный рост
В долгосрочных финансовых операциях часто применяется не простые, а сложные проценты. С этим методом хорошо знакомы те, кто хранит свои вклады в сберегательном банке , иными словами дает банку ссуду под сложный процент. Как правило, сберегательные счета во всех коммерческих и государственных банках основаны на принципах сложных процентов.

Формула сложного процента
Проценты, полученные за год прибавляются к первоначальной сумме вклада, и в следующем году проценты начисляются уже на новую сумму, и так каждый год.
В принятых нами обозначениях сумма, образовавшаяся к концу срока будет рассчитываться по формуле
S=P*(1+i) *(1+i)*… *(1+i) = P*(1+i)ⁿ

Эта формула означает, что рост первоначальной суммы по сложным процентам – это процесс, развивающийся в геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i). Величина (1+i)ⁿ - это множитель наращения сложных процентов

Рассмотрим пример:
Вы хотите узнать во сколько раз вырастет Ваш вклад в сберегательный банк, положенный на 10 лет под 8% годовых. По таблице сложных процентов находим множитель наращения равный 2,2. Это означает, что ваш вклад увеличится в 2,2 раза. Формула сложного процента предполагает, что ставка процента на протяжении всего срока не меняется.

График процесса наращения средств при простых и при сложных процентах
"Простые "
"Сложные "
0
2
4
6
8
10000
20000
30000
40000
годы
Сумма вклада (тыс.руб.)
50000

Старинные задачи на проценты
Задача 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестринциев. Заимодавец поставил условие: "Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестринциев и еще 20% от этой суммы". Сколько сестринциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу?

Задачи на проценты (по материалам ЕГЭ)
Задача 4. (из данных сберегательного банка России) Вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Молодежный» в сбербанк России. Через два года вклад достиг 2809 рублей. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых?
Решение: Пусть х рублей первоначальный вклад.
Sо → Sо∙(1+6∙0,01) → Sо∙(1+6∙0,01) ∙(1+6∙0,01)
х∙(1+0,06)²=2809
1,06 ² х=2809
1,1236х=2809
х=2500
Ответ: первоначальный вклад составлял 2500 рублей.

Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 рублей и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 рублей. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

Решение:
Пусть на i% ежегодно увеличивается сумма денег. Положенная на «студенческий» вклад.
S=1210, P=1000, n=2
По формуле сложных процентов получаем: 1210=1000*(1+ i)²
(1+ i)²=1,21
1+ i=1,1
i=0,1
Ответ: процентная ставка составляет 10%.

Банк начисляет 40% годовых. Какую сумму надо положить в банк, чтобы получить через год 3,5 тыс. руб.?
Варианты ответа:а) 2,1 тыс. руб.; б) 87,5руб. в) 2,5 тыс. руб.
Правильный ответ: в).
Пусть Вы положили X руб. Через год на Вашем счету

Задачи на проценты (по материалам конкурсных экзаменов)
Банк выплачивает 3% годовых. Через сколько лет первоначальная сумма удвоится?
Пусть это произойдет через n лет. Тогда P*(1+о,03)ⁿ=2Р
n=log1,032≈23
Ответ: через 23 года.

МИФИ, 2001г.
На счет, который вкладчик имел вначале первого года, банк начисляет в конце этого года р % годовых, а на тот счет, который вкладчик имел вначале второго года, банк начисляет в конце этого года r % годовых,при чем p + r=140.Вкладчик положил на счет вначале первого года некоторую сумму и снял со счета в конце года (после начисления процентов) пятую часть положенной суммы. При каком р счет вкладчика в конце года окажется максимально возможным?
Ответ: 80%