Слайд 2
![Средства и методы моделирования Методы моделирования – методы динамической теории](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-1.jpg)
Средства и методы моделирования
Методы моделирования – методы динамической теории систем
Средства –
дифференциальные и разностные уравнения, методы качественной теории дифференциальных уравнений, компьютерная симуляция
Слайд 3
![Пример. Рост колонии микроорганизмов За время прирост численности равен ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-2.jpg)
Пример. Рост колонии микроорганизмов
За время прирост численности равен ,
где R –
число родившихся и S – число умерших за время особей пропорциональные этому промежутку времени:
В дискретной форме:
В непрерывной форме:
Слайд 4
![Пример. Рост колонии микроорганизмов В простейшем случае, когда рождаемость и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-3.jpg)
Пример. Рост колонии микроорганизмов
В простейшем случае, когда рождаемость и смертность пропорциональны
численности:
или
Получим экспоненциальную форму динамики роста
Слайд 5
![Пример. Рост колонии микроорганизмов График функции при положительных (размножение) и отрицательных (вымирание) значениях константы скорости роста](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-4.jpg)
Пример. Рост колонии микроорганизмов
График функции при положительных (размножение) и отрицательных (вымирание)
значениях константы скорости роста
Слайд 6
![Уравнение Ферхюльста Логистическое уравнение было предложено Ферхюльстом в 1838 г.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-5.jpg)
Уравнение Ферхюльста
Логистическое уравнение было предложено Ферхюльстом в 1838 г.
При малых х
численность x возрастает, при больших – приближается к определенному пределу K.
Аналитическое решение имеет вид:
Слайд 7
![Динамика численности в логистической модели при разных начальных значениях численности](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-6.jpg)
Динамика численности в логистической модели при разных начальных значениях численности популяции
Если
начальное значение , кривая роста имеет точку перегиба
Если , численность со временем убывает
Слайд 8
![Системы двух автономных дифференциальных уравнений Рассмотрим систему двух автономных дифф.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-7.jpg)
Системы двух автономных
дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему двух автономных дифф. Уравнений
P(x,
y), Q(x, y) - непрерывные функции, определенные в некоторой области евклидовой плоскости G (x, y – декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого
x, y – численность видов
Слайд 9
![Фазовая плоскость Плоскость всех точек M(x,y) называется фазовой плоскости и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-8.jpg)
Фазовая плоскость
Плоскость всех точек M(x,y) называется фазовой плоскости и изображает совокупность
всех состояний системы.
Точка M(x,y) называется изображающей или представляющей точкой
Совокупность точек M(x(t), y(t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t), y(t) согласно уравнениям системы, называется фазовой траекторией
Слайд 10
![Фазовый портрет Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-9.jpg)
Фазовый портрет
Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает фазовый
портрет системы
Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости.
Задавая приращение , получим соответствующие приращения
Слайд 11
![Направление вектора dy/dx](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-10.jpg)
Направление вектора dy/dx
Слайд 12
![Фазовые траекторий в аналитическом виде дает семейство интегральных кривых уравнения - фазовых траекторий системы на плоскости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-11.jpg)
Фазовые траекторий в аналитическом виде
дает семейство интегральных кривых уравнения - фазовых
траекторий системы на плоскости
Слайд 13
![Линейные системы Рассмотрим систему a, b, c, d = const](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-12.jpg)
Линейные системы
Рассмотрим систему
a, b, c, d = const
Слайд 14
![Вид фазовых траекторий](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-13.jpg)
Слайд 15
![Математические модели взаимодействия двух видов. Гипотезы Вольтерра 1. Пища либо](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-14.jpg)
Математические модели взаимодействия двух видов. Гипотезы Вольтерра
1. Пища либо имеется в
неограниченном количестве, либо ее поступление с течением времени жестко регламентировано.
2. Особи каждого вида отмирают так, что в единицу времени погибает постоянная доля существующих особей.
3. Хищные виды поедают жертв, причем в единицу времени количество съеденных жертв всегда пропорционально вероятности встречи особей этих двух видов, т.е. произведению количества хищников на количество жертв.
Слайд 16
![Математические модели взаимодействия двух видов. Гипотезы Вольтерра 4. Если имеется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-15.jpg)
Математические модели взаимодействия двух видов. Гипотезы Вольтерра
4. Если имеется пища в
ограниченном количестве и несколько видов, которые способны ее потреблять, то доля пищи, потребляемой видом в единицу времени, пропорциональна количеству особей этого вида, взятому с некоторым коэффициентом, зависящим от вида (модели межвидовой конкуренции).
5. Если вид питается пищей, имеющейся в неограниченном количестве, прирост численности вида в единицу времени пропорционален численности вида.
6. Если вид питается пищей, имеющейся в ограниченном количестве, то его размножение регулируется скоростью потребления пищи, т.е. за единицу времени прирост пропорционален количеству съеденной пищи.
Слайд 17
![Уравнения Вольтерра x1, x2 – численности видов ai – константы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-16.jpg)
Уравнения Вольтерра
x1, x2 – численности видов
ai – константы собственной скорости роста
видов,
ci – константы самоограничения численности (внутривидовой конкуренции),
bij – константы взаимодействия видов, (i,j=1,2)
Знаки этих коэффициентов определяют тип взаимодействия
Слайд 18
![Основные типы взаимодействий](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-17.jpg)
Основные типы взаимодействий
Слайд 19
![Уравнения конкуренции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-18.jpg)
Слайд 20
![Стационарные решения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-19.jpg)
Слайд 21
![Условие сосуществования видов Необходимое условие устойчивости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-20.jpg)
Условие сосуществования видов
Необходимое условие устойчивости
Слайд 22
![Расположение главных изоклин на фазовом портрете Выживание x1 Выживание x2 Сосуществование видов Триггерная система](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-21.jpg)
Расположение главных изоклин на фазовом портрете
Выживание x1
Выживание x2
Сосуществование видов
Триггерная система
Слайд 23
![Система «хищник-жертва»](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-22.jpg)
Слайд 24
![Стационарные решения системы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-23.jpg)
Стационарные решения системы
Слайд 25
![Расположение главных изоклин на фазовом портрете Устойчивое сосуществование Популяция хищников вымерла Точки 1 и 3 неустойчивые](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-24.jpg)
Расположение главных изоклин на фазовом портрете
Устойчивое сосуществование
Популяция хищников вымерла
Точки 1
и 3 неустойчивые
Слайд 26
![Моделирование динамики популяций с помощью уравнений Лотка-Вольтерра Модель взаимодействия хищников](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-25.jpg)
Моделирование динамики популяций с помощью уравнений Лотка-Вольтерра
Модель взаимодействия хищников и их
добычи, когда между особями одного вида нет соперничества
x1 – число жертв, x2 – число хищников
a – скорость размножения жертв в отсутствие хищников,
–bx2 – потери от хищников
–c – относительная скорость изменения популяции хищников
Слайд 27
![Решение системы Лотка-Вольтерра](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-26.jpg)
Решение системы Лотка-Вольтерра
Слайд 28
![Уравнения Лотка-Вольтерра с логистической поправкой Модель конкурирующих видов с логистической поправкой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-27.jpg)
Уравнения Лотка-Вольтерра с логистической поправкой
Модель конкурирующих видов с логистической поправкой
Слайд 29
![Графики решений и фазовая кривая, α>0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-28.jpg)
Графики решений и фазовая кривая, α>0
Слайд 30
![Графики решений и фазовая кривая, α](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-29.jpg)
Графики решений и фазовая кривая, α<0
Слайд 31
![Модель Холлинга-Тэннера Скорость роста популяции жертв dx1⁄dt в этой модели равна сумме трех величин](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-30.jpg)
Модель Холлинга-Тэннера
Скорость роста популяции жертв dx1⁄dt в этой модели равна сумме
трех величин
Слайд 32
![Модель Холлинга-Тэннера Скорость роста популяции хищников dx2⁄dt строится так же,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-31.jpg)
Модель Холлинга-Тэннера
Скорость роста популяции хищников dx2⁄dt строится так же, как в
модели Вольтерра–Лотка, в предположении, что жертвы встречаются редко
Если для поддержания жизни одного хищника нужно J жертв, то популяция из жертв сможет обеспечить пищей x1/J хищников. Модель роста популяции хищников, в которой их число не может превысить эту критическую величину
Слайд 33
![Модель Холлинга-Тэннера При на фазовом портрете системы будет устойчивый предельный цикл](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-32.jpg)
Модель Холлинга-Тэннера
При на фазовом портрете системы будет устойчивый предельный цикл
Слайд 34
![Графики решений и фазовый портрет при](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-33.jpg)
Графики решений и фазовый портрет при
Слайд 35
![Графики решений и фазовый портрет при](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-34.jpg)
Графики решений и фазовый портрет при
Слайд 36
![Обобщенная модель взаимодействия двух видов А. Н. Колмогорова](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-35.jpg)
Обобщенная модель взаимодействия двух видов А. Н. Колмогорова
Слайд 37
![Обобщенная модель взаимодействия двух видов А. Н. Колмогорова 1) Хищники](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-36.jpg)
Обобщенная модель взаимодействия двух видов А. Н. Колмогорова
1) Хищники не взаимодействуют
друг с другом, т.е. коэффициент размножения хищников k2 и число жертв L, истребляемых в единицу времени одним хищником, не зависит от y.
2) Прирост числа жертв при наличии хищников равен приросту в отсутствие хищников минус число жертв, истребляемых хищниками. Функции k1(x), k2(x), L(x) – непрерывны и определены на положительной полуоси x, y ≥0.
3) Число жертв, истребляемых одним хищником в единицу времени L(x)>0 при x>0; L(0)=0.
Слайд 38
![Обобщенная модель взаимодействия двух видов А. Н. Колмогорова 4) dk1/dx 5) dk2/dx > 0, k1(0)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/328081/slide-37.jpg)
Обобщенная модель взаимодействия двух видов А. Н. Колмогорова
4) dk1/dx < 0.
Это означает, что коэффициент размножения жертв в отсутствие хищника монотонно убывает с возрастанием численности жертв, что отражает ограниченность пищевых и иных ресурсов.
5) dk2/dx > 0, k1(0) < 0 < k1(∞). С ростом численности жертв коэффициент размножения хищников монотонно возрастает, переходя от отрицательных значений, когда нечего есть, к положительным.