Взаимное положение прямой и плоскости. Лекция 4 презентация

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
ТЕОРЕМА. Если прямая параллельна плоскости, то проекции данной прямой параллельны одноименным проекциям какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости:
a ║ α < = > a' ║ lα ' ᴧ a'' ║ lα ''
a ║ α (h, f) , l α < = > a' ║ l ' ᴧ a'' ║ l ''
h'
A'
1'
f '
2'
l'
a'
l"
a"
A"
1"
2"
f "
h"
x
Построить проекции прямой a,
проходящей через точку A и
параллельной плоскости α
B"
B'

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
ТЕОРЕМА. Две плоскости параллельны, если проекции двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельны одноименным проекциям двух пересекающихся прямых другой плоскости
СЛЕДСТВИЕ. Если две плоскости параллельны, то их одноименные следы параллельны
Рис. 4.2
α (a ∩ b) ║ β (c ∩ d) < = > a' ║ c' , b' ║ d' ᴧ a''║ c'' , b'' ║ d''
α ║ β < = > h0α ║ h0β ᴧ f0α ║ f0β
Рис. 4.1
a"
b"
c"
d"
A"
B"
a'
b'
A'
c'
d'
B'
x
x
h0α
h0β
f0α
f0β
Xα
Xβ

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
ТЕОРЕМА. Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция
прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали данной плоскости
n ┴ α (h, f) < = > n' ┴ h' ᴧ n'' ┴ f ''
В общем случае отношение перпендикулярности в пространстве не сохраняет признаков перпендикулярности на чертеже
Пример: Построить проекции прямой, перпендикулярной к заданной плоскости
и проходящей через точку A.
Рис. 4.5
Рис. 4.3
Рис. 4.4
h0α
f0α
Xα
n"
A"
n'
A'
x
n'
f '
h'
A'
n"
h"
f "
A"
x

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
ТЕОРЕМА. Если плоскости взаимно перпендикулярны, то одна из них содержит хотя бы одну прямую, горизонтальная проекция которой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (горизонтальному следу) плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (фронтальному следу) данной плоскости
Рис. 4.6

Рис. 4.7
β (а , n) ┴ α (c , d ) < = > n' ┴ h' , n'' ┴ f ''
A'
n'
a'
f '
h'
d'
c'
1'
3'
K'
2'
x
1"
a"
h"
2"
n"
K"
f "
A"
3"
c"
d"
Пример: Построить проекции плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости и проходящей через точку A и прямую a

Пример: Построить проекции плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости и проходящей через точку A и прямую a
β (а , n) ┴ α (h0α , f0α ) < = > n' ┴ h0α , n'' ┴ f0α
h0α
f0α
Xα
n'
A'
a'
a"
A"
n"
x

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
Пересечение плоскостей, одна из которых проецирующая
Примечание. Одна из проекций искомой линии пересечения известна сразу: она совпадает с соответствующим следом проецирующей плоскости.
Вторая проекция находится по принадлежности искомой линии другой, непроецирующей плоскости
Рис. 4.8

Пересечение плоскостей, одна из которых проецирующая
Рис. 4.9
α (ABC) ∩ β (β ┴ π1) = > l ' h0β
A"
B"
2"
C"
1"
l"
A'
C'
B'
1'
2'
l'
X β
h0β
f0 β
x

α
β
K1
γ1
γ2
K2
m1
n1
n2
m2
Пересечение двух плоскостей общего положения
Пример: Построить линии пересечения заданных плоскостей
Алгоритм решения:
Ввести плоскость-посредник γ1 (γ1 ┴ π)
Построить линии пересечения плоскости γ1 с каждой из заданных плоскостей:
γ1 ∩ α = n1
γ1 ∩ β = m1
Найти точку K1 пересечения построенных линий
n1 ∩ m1 = K1
Ввести вторую плоскость-посредник γ2 (γ2 ┴ π) и повторить построения (п.п. 2, 3) для нахождения точки K2
γ2 ∩ α = n2
γ2 ∩ β = m2
n2 ∩ m2 = K2
5. Провести искомую прямую K1 K2 через две найденные точки
α ∩ β = K1K2
Рис. 4.11

Рис. 4.11
Пересечение двух плоскостей общего положения
f0γ1
f0γ2
a"
1"
c"
2"
3"
4"
d"
b"
5"
6"
7"
8"
K2"
K1"
a'
d'
x
c'
b'
1'
2'
3'
K1'
4'
6'
5'
7'
8'
K2'

Пересечение двух плоскостей общего положения
Рис. 4.12
F"
Xβ
Xα
f0α
f0β
h0α
h0β
H"
l"
F'
H'
l'
x

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
1. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью
Одна из поверхностей – проецирующая
Рис. 4.13
Рис. 4.14
α ∩ а = K , α ┴ π1 = > K ' h0α
f0α
h0α
Xα
a'
K'
K"
a"
x

2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения
Рис. 4.15
α (ABC) ∩ а = K , а ┴ π1
= > K' а'
Рис. 4.16
A"
C"
B"
a"
1"
2"
K"
B'
C'
A'
2'
1'
a'
≡K'
3'
3"

A'
C'
B'
A
K'
a
h0β
C
β
K
l'
h0β
≡ l'
B
π1
l
1'
2'
1
2
α
a'
Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
Заключить прямую a в проецирующую плоскость-посредник β
а β, β ┴ π1
Определить линию l пересечения заданной плоскости α и вспомогательной плоскости β
a ∩ β = l
Найти точку K пересечения заданной прямой a и построенной линии l пересечения плоскостей a ∩ l = K
Алгоритм
определения точки пересечения прямой и плоскости общего положения