Элементы теории поля. Векторное поле презентация

3. Векторное поле
(продолжение)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Векторное поле определяется векторной
функцией точки
где - точка пространства;
- ее радиус-вектор.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле (продолжение)
Векторная линия
Векторная линия (силовая линия, линия
тока) поля это кривая, у которой
касательный вектор в каждой точке
направлен вдоль заданного вектора поля
этой точке.
Уравнения векторной линии получаются из решения системы
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Векторная линия (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле (продолжение)
Дивергенция
Дивергенция (расходимость) векторного поля
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Дивергенция (продолжение)
Свойства дивергенции
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле (продолжение)
Ротор
Ротор (вихрь) векторного поля
или в символическом виде
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Ротор (продолжение)
Свойства ротора
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле (продолжение)
Поток векторного поля
Поток векторного поля через
поверхность в сторону, определяемую
единичным вектором нормали
где - величина проекции вектора на
направление вектора
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

Поток П вектора есть скалярная величина. Величина П равна
объему жидкости, которая протекает через поверхность за
единицу времени. В этом состоит физический смысл потока
(независимо от физического смысла поля).
Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и
ограничивает некоторый объем Т. Тогда поток вектора записывается в виде
В этом случае за направление вектора п
обычно берут направление внешней
нормали и говорят о потоке
изнутри поверхности
3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

Физически величину потока П через замкнутую поверхность можно
трактовать как разность между количеством жидкости, вытекающей
из области Т (объема Т) и втекающей в нее за единицу времени.
Eсли П > 0, то из области Т вытекает больше жидкости, чем в нее втекает.
Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.
Если П < 0, то внутри области Т имеются стоки, поглощающие избыток
жидкости.
Источники - точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки - точки,
где векторные линии кончаются. Так, в электростатическом поле
источником является положительный заряд, стоком - отрицательный
заряд
3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
Связь дивергенции с потоком векторного
поля :
где - объем области
- дифференциал площади ( означает, что поверхность стягивается в точку).
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
Если поверхность задана уравнением
поток через верхнюю сторону поверхности
можно вычислить по формуле
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Поток векторного поля (продолжение)
Если уравнение поверхности есть
то
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
(продолжение)
Линейный интеграл от вектора по
линии
где - проекция вектора на касательную к
линии, выражает работу векторного поля
вдоль линии
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле (продолжение) Циркуляция
Циркуляция векторного поля вдоль
контура - линейный интеграл вдоль
замкнутой линии
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Циркуляция (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Циркуляция (продолжение)
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
(продолжение)
Связь ротора векторного поля с
циркуляцией определяется формулой
лежит в плоскости, перпендикулярной вектору - площадь области, ограниченной контуром
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле (продолжение)
Формула Гаусса-Остроградского
Теорема. Если векторная функция
непрерывна в замкнутой правильной области вместе со своими частными производными
то имеет место формула
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Формула Гаусса-Остроградского (продолжение)
или в векторной форме
где - внешняя сторона поверхности, ограничивающей тело
- единичный вектор внешней нормали к ней.
В последней записи формула не зависит от выбора системы координат (базиса).
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле (продолжение)
Формула Стокса
Теорема. Пусть - поверхностно-односвязная
область, - кусочно-гладкий контур в и
- кусочно-гладкая поверхность, натянутая на контур
лежащая в области Пусть в задано векторное поле
такое, что и непрерывны в
области
Тогда циркуляция поля по контуру равна потоку
через поверхность
причем направление обхода контура и ориентация
поверхности согласованы.
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016

3. Векторное поле
Формула Стокса (продолжение)
В декартовой системе координат
формула Стокса примет вид
© Бутырин В.И., Гобыш А.В.,
Филатов В.В., Шварц Э.Б. 2016