Основы теории подобия презентация

Определение коэффициентов:
теплопроводности λ;
лучеиспускание (передача теплоты излучением) αиз;
коэффициента молекулярной диффузии D;
не представляет большой трудности вследствие стабильности свойств различных материалов и их состояния.
Определение коэффициентов теплоотдачи αк и массоотдачи β является трудной задачей.
Эти коэффициенты зависят от множества трудно учитываемых факторов: от режима движения жидкости; от свойств жидкости; от состояния поверхности; от геометрической формы поверхности и т. п.

Для определения коэффициентов теплоотдачи αк и массоотдачи β приходится прибегать к экспериментам на типичных моделях при определенных условиях.
Система понятий и законов, обосновывающих возможность переноса результатов экспериментов с одного объекта (модели) на другой (реальный), называется теорией подобия.
В основе теории подобия лежат следующие понятия и положения.

Два физических процесса считаются подобными, если они подчиняются одним и тем же физическим законам и все величины , характеризующие один процесс, могут быть получены путем умножения однородных с ним величин , характеризующих другой процесс, на постоянные числа Ci, которые называются константами подобия и одинаковы для всех однородных величин:
Константами подобия – отношение однородных физических величин в сходственных точках модели и натурного объекта.

Простейшим случаем подобия двух объектов является геометрическое подобие.
Два треугольника подобны, если их стороны пропорциональны:
Величина Cl называется константой геометрического подобия.

Каждая величина, характеризующая подобные объекты (или явления), имеет свою константу подобия.
Для геометрического подобия численное значение геометрической константы подобия Cl может быть любым.
Для сложных физических процессов, характеризуемых многими величинами, взаимно влияющими друг на друга, значения констант подобия произвольно выбрать нельзя.
Установим условие, ограничивающие выбор констант подобия С.
Рассмотрим движение жидкости со скоростью ω на пути l за время τ:

Для сходственных (т.е. одинаково расположенных) частиц подобных потоков
Введем константы подобия:
Это и есть условие, ограничивающее выбор констант подобия при рассмотрении сложных физических процессов.
и
или

Вместо констант подобия подставим характеризуемые ими величины.
idem обозначает «одно и тоже» и применяется для того, чтобы подчеркнуть, что критерии для подобных явлений должны быть одинаковыми.
Записанное соотношение безразмерно и в общем случае отлично от единицы. Данное соотношение называется критерием подобия.

Критерия подобия устанавливаются из уравнений, описывающих подобные процессы путем анализа размерностей, с помощью масштабных преобразований и т.д.
В качестве примера рассмотрим подобие двух случаев конвективного теплообмена между жидкостью и плоской стенкой длиной l' и l''.

Для обоих случаев справедливы уравнения теплопроводности через пограничный слой δ' и δ'' (закон Фурье)
и конвекции в движущейся массе жидкости (закон Ньютона)
где λ и α – средние значения коэффициентов теплопроводности и теплоотдачи.
При стационарном режиме

Произведем анализ размерностей
Отбросим знаки дифференцирования и пологая характерным размером x = l, получим:
Полученный безразмерный комплекс называется числом Нуссельта
– дифференциальное уравнение одномерной, стационарной конвективной теплоотдачи между жидкостью и стенкой
откуда

В критерии Нуссельта под l подразумевается любой линейный параметр, однозначно определяющий толщину пограничного слоя (длина пластины, толщина пограничного слоя и т.п.).
Величины λ и α берутся однозначно, т.е. или в обоих случаях средние, или отнесенные к каким-то сходственным точкам.
Основные критерии подобия, применяющиеся при решении задач теплообмена, и их физический смысл.
Аналогичные критерии с соответствующей заменой коэффициентов и потенциалов применяются при решении задач массоотдачи.

Число Рейнольдса
где ω – скорость потока (м/с); d – эквивалентный диаметр канала; ν – коэффициент кинематической вязкости (м2/с).
Критерий Рейнольдса характеризует гидродинамический режим движения, являясь мерой отношения сил инерции и вязкости. При малых силах инерции и больших силах вязкости движение ламинарное, в противоположном случае - турбулентное.

Число Грасгофа
где – коэффициент объемного расширения (К-1);
– для идеального газа; Δt – разность температур в двух точках системы потока и стенки (К). Если ρж и ρс – плотности жидкости в двух точках системы, то
Критерий Грасгофа характеризует гидродинамическое подобие при свободном движении жидкости. Отражает соотношение между подъемной силой, заставляющей всплывать нагретые частицы теплоносителя (архимедова сила), и силой вязкостного трения, препятствующей подъему этих частиц. Чем Gr выше, тем свободное движение интенсивнее.

Число Нуссельта
где α – коэффициент конвективной теплоотдачи (Вт/м2·К).
Критерий Нуссельта характеризует отношение между интенсивностью теплоотдачи и температурным полем в пограничном слое потока.
Чем Nu выше, тем интенсивнее процесс конвективного теплообмена.

Число Прандтля
где ср – теплоемкость жидкости при постоянном давлении (Дж/кг·К);
λ – коэффициент теплопроводности жидкости;
a – коэффициент температуропроводности (м2/с).
Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости и способность распространения тепла в жидкости.
Для газов Pr = 0,67÷1,0 и зависит только от атомности;
для жидкостей Pr = 1,0÷2500.

Критерии, составленные из величин, определяющий характер процесса, но не включающие искомых величин, называются определяющими, а критерии, включающие искомые величины – неопределяющие.
Определяющими называются величины, заданные в условиях однозначности физических процессов, являющиеся независимыми переменными.
Например, при расчете конвективного теплообмена критерий Нуссельта Nu является неопределяющим, поскольку в него входит искомая величина α (коэффициент теплоотдачи). Критерии Рейнольдса Re и Прандтля Pr в этих расчетах определяющие.

Критерий Био (Bi) применяется обычно при исследовании нестационарного процесса распространения теплоты в твердом теле, условия взаимодействия которого с окружающей средой (теплоносителя) известны (коэффициент теплоотдачи α задается).
По условию задачи бывают известны также характерный размер l и коэффициент теплопроводности λ.
Поэтому критерий Био является также определяющим.
Температура, при которой определяются физические параметры λ, а, ν и др., входящие в критерии подобия называется определяющей температурой, а характерный размер теплоносителя или канала δ, l, d – определяющим размером.

Физический процесс полностью описывается некоторой системой дифференциальных уравнений и присоединенных к ним краевых условий в том случае, если эта система является замкнутой, т.е. число уравнений равно числу неизвестных величин и соблюдено условие единственности решений.
В таком случае принципиально возможно получить решение относительно любого из этих неизвестных, т.е. выразить интеграл рассматриваемой системы уравнений в виде некоторой функции
где yi – искомая неизвестная (зависимая) переменная величина;
xi – независимые переменные, входящие в основную систему уравнений.
(4)

Для того чтобы выяснить, какие из входящих в уравнение переменных являются независимыми, необходимо определить краевые условия протекания изучаемого процесса – условия однозначности:
геометрические условия (форма и размер тела, координатная система);
физические условия (физические свойства среды и тела);
временные условия, характеризующие состояние системы в начальный момент времени;
граничные условия, которые определяют условия взаимодействия системы с окружающей средой.

Величины, входящие в условие однозначности, задаются внешним образом по отношению к основным уравнениям и являются независимыми переменными, совокупность которых однозначно определяет протекание данного физического процесса.
Все остальные переменные, входящие в основные уравнения, являются зависимыми переменными.
Величины xi в формуле (4) составлены из условий однозначности.

В основе теории подобия лежат следующие
три теоремы подобия
1-ая теорема. В сходственных точках подобных процессов (например, a, b, c, d изображенные на рисунке) одноименные критерии должны иметь одинаковые значения.

2-ая теорема. Определяющие и неопределяющие критерии подобных процессов связаны между собой уравнением подобия (критериальным уравнением), которое является безразмерным решением (интегралом) рассматриваемой задачи, справедливым для всех подобных процессов.
Обозначим через Kо определяющие критерии, а через Kн – неопределяющие, то критериальное уравнение в общей форме будет иметь вид:
(5)

3-я теорема. Для того, чтобы два процесса были подобны, необходимо и достаточно, чтобы они были качественно одинаковы, т.е. их условия однозначности были подобны, а определяющие критерии в сходственных точках равны.
Поясним содержание 2-ой и 3-ей теорем.
Вторая теорема является для практических целей самой плодотворной.
Смысл второй теоремы сводится к тому, что можно, не интегрируя дифференциальные уравнения исследуемых подобных процессов, получать расчетные формулы, заменяя эти дифференциальные уравнения критериальными.

Это особенно выгодно в тех случаях, когда дифференциальное уравнение не интегрируется.
Тогда из этих уравнений аналитически определяют критерии подобия и рассматривают их как новые переменные (каждый из критериев состоит из нескольких переменных).
Количество переменных при этом сокращается, что облегчает исследование.
Затем между критериями экспериментально устанавливается функциональная зависимость – критериальное уравнение. Эти уравнения получаются для строго определенных условий, поэтому пользоваться ими можно лишь в том диапазоне изменения определяющих критериев, который имел место в опытах, т.е. в пределах, ограниченных условиями подобия.

Например, критериальное уравнение для теплоотдачи внутри круглых труб при условиях, близких к изотермическим, имеет вид
Это уравнение применимо при
и
Определяющим размером в числах Рейнольдса Re и Нуссельта Nu является внутренний диаметр трубы, определяющей температурой – температура потока t1 теплоносителя. В случае, если температура потока t1 и стенки tст заметно отличаются друг от друга, величину критерия Nu полученную из формулы (6), надо умножить на специальную поправку.
(6)