Синхронизация хаотических автоколебаний презентация

Явление синхронизации наблюдается не только в автоколебательных системах с регулярной динамикой, но и в системах, находящихся в режиме динамического хаоса
С накоплением знаний о хаотической динамике нелинейных систем возникла потребность обобщить теорию синхронизации автоколебаний (АК) на этот случай.
Что считать синхронизацией хаоса?
Синхронизация в смысле захвата мгновенных фаз и характерных
частот (частотно--фазовая синхронизация);
синхронизация как полная идентичность колебаний
взаимодействующих систем (полная синхронизация).

Классический подход к проблеме синхронизации хаотических
автоколебаний. Частотно – фазовая синхронизация
Классические представления о синхронизации можно легко обобщить на АК системы в режиме спирального (фазово --когерентного) хаоса.
Что такое спиральный хаос?
Траектории вращаются вокруг состояния равновесия почти регулярно, т.е. время возврата к секущей плоскости слабо флуктуирует относительно среднего значения Tc .
2. Можно ввести мгновенную фазу хаотических колебаний одним из следующих способов:
используя преобразование Гильберта
(1)
как угол вращения траектории в некоторой проекции аттрактора
(2)

используя последовательность моментов времени tk,
соответствующих пересечению траекторией некоторой секущей плоскости в одном направлении
(3)
В спектре мощности имеется узкая спектральная линия,
соответствующая главному спектральному максимуму. Ее ширина определяется коэффициентом эффективной диффузии мгновенной фазы Φ ( t ) и составляет величину порядка 10-5 – 10-4 безразмерных единиц. Частота максимума ω0 (базовая частота хаотических автоколебаний) должна совпадать со средней частотой ωср:
(4)

Спиральный аттрактор в осцилляторе Рёсслера
где α = β = 0.2, μ = 6.5.
Проекция аттрактора
Спектр мощности
(5)

Частотно – фазовая синхронизация хаоса означает:
Кратность базовых часто взаимодействующих систем
nω01 = mω02;
Ограниченность разности мгновенных фаз и кратность средних частот
|nΦ1 ( t ) -- mΦ2 ( t )| < Const .
nωcр1 = mωcр2 ;
Кратность средних периодов возврата к секущей плоскости
nT1 = mT2 ,
где n и m -- целые числа.
Возможны два механизма синхронизации:
Захват частот и фаз;
2. Подавление автоколебаний одной из взаимодействующих
систем.
В случае частотно—фазовой синхронизации
взаимодействующие системы могут быть различными, но их
базовые частоты должны быть близки к равенству или
кратному соотношению.

Численное исследование частотно –фазовой синхронизации хаоса в системе Рёсслера с гармоническим внешним воздействием
Модель:
α = β = 0.2, параметр μ управляет режимом автоколебаний, параметр Ω управляет базовой частотой автоколебаний, С – амплитуда внешнего воздействия, ωex – частота воздействия.
Рассмотрим синхронизацию хаоса на основном тоне: значение частоты воздействия ωex близко к Ω . Можно ввести параметр частотной расстройки Δ = ωex - Ω , значения которого полагаются малыми. Положим Ω = 1 и μ = 6.5 и будем менять ωex и С.
(6)

Диагностика синхронизации хаоса по фазовому портрету
Проекции на плоскость x-- воздействие
C =0.05, Δ = 0.06
C =0.05, Δ = 0.065
x– y проекции стробоскопических сечений
C =0.05, Δ = 0.06
C =0.05, Δ = 0.065

Диагностика синхронизации хаоса по спектру
Захват базовой частоты автоколебаний в системе (6) при C=0.05.
Спектры соответствуют различным значениям расстройки: Δ = 0.06 (кривая 1), Δ = 0.064 (кривая 2), Δ = 0.065 (кривая 3).
ωex – частота воздействия, ω0 --- базовая частота автоколебаний.

Диагностика синхронизации хаоса по захвату мгновенной фазы
Зависимость разности фаз ΔΦ(t) = Φ(t) - ωext от времени в системе (6) при C=0.05 и различных значениях расстройки: Δ = 0.06 (кривая 1), Δ = 0.064 (кривая 2), Δ = 0.065 (кривая 3). Мгновенная фаза определялась для колебаний x(t) по формуле (1).

Диагностика области синхронизации в системе (6)
Зависимость числа вращения Θ от частоты воздействия в системе (6) при C=0.05. Кривая 1 соответствует определению числа вращения как
Θ = ωcp : ωex , где средняя частота вычисляется для колебаний x(t) по формуле (4), а мгновенная фаза -- по формуле (1). Кривая 2 соответствует числу вращения Θ = ω0 : ωex,, где ω0 -- базовая частота автоколебаний.

Основная область синхронизации системы (6) на плоскости параметров Ω, C при μ = 4, ωex = 1
На диаграмме отмечены области следующих режимов:
1 и 1’ – синхронные хаотические колебания, 2 – несинхронный хаос; 3 – окно устойчивости периодических режимов в области синхронного хаоса (это – предельный цикл с периодом
T = 5⋅2π /ωex и циклы, возникающие из него в результате бифуркаций удвоения периода); 4 – область бистабильности периодических режимов и синхронного хаоса.

Экспериментальное исследование частотно –фазовой синхронизации хаоса в системе связанных генераторов Анищенко -- Астахова
Блок – схема системы двух связанных генераторов Анищенко – Астахова:
1 – линейные усилители с управляемыми коэффициентами усиления, 2 – инерционные нелинейные преобразователи, 3 – блок связи (3’ – однонаправленная связь, 3” – взаимная связь).

Математическая модель экспериментальной системы
(6)
где m12 и g12 – параметры, управляющие динамическим режимом парциального генератора; p = C1/C2 – расстройка резонансных частот мостов Вина, определяющая частотную расстройку парциальных систем; γ12 – параметры связи; B – коэффициент передачи буфера. Выбор γ1 = 0, B = 3 соответствует однонаправленному воздействию первого генератора на второй, а при γ1 = γ2, B = 1 имеет место взаимная симметричная связь.

Спектры колебаний x2(t) в случае вынужденной синхронизации через захват базовой частоты хаотических колебаний
Первый генератор находится в периодическом режиме, а второй – в режиме спирального хаоса.
Расстройка базовых частот Δ = ω2 - ω1 – мала.
(а) – спектр сигнала воздействия; (б) – спектр автономных колебаний второго генератора; (в – ж) – спектры колебаний второго автогенератора при различной величине частотной расстройки. Параметр связи возрастает слева направо.
а
б
ω1
ω2
в
г
д
е
ж

Спектры и фазовые портреты колебаний, иллюстрирующие вынужденную синхронизацию через подавление базовой частоты хаотических колебаний
(а) – сигнал воздействия; (б – е ) – колебания второго генератора при фиксированной частотной расстройке и различной величине параметра связи. Параметр связи возрастает сверху вниз
а
б
в
г
д
е
ω1
ω1
ω1
ω1
ω1
ω2
ω2
ω2

Бифуркационная диаграмма двух симметрично – связанных генераторов на плоскости параметров «частотная расстройка – связь»
Обозначения: l12 – линия взаимного захвата базовых частот на границе области синхронизации периодических колебаний удвоенного периода 2T0; l2k (k = 1, 2, 4) – линии удвоения периода циклов kT0; l0k (k =1, 2) – линии, соответствующие подавлению одной из базовых частот (более высокой); kT0 – области периодических колебаний с соответствующим периодом (k = 2, 3, 4, 8); T0 – область периодических колебаний с периодом T0 = 2π /ω0. Отмечены области синхронизации с соотношением частот 5/4 и 4/3 . Выделены три области синхронного хаоса (CA0, CA0’, CA3) и область несинхронного хаоса (CA2)

Полная синхронизация взаимодействующих хаотических систем
При взаимодействии (в том числе однонаправленном) двух совершенно идентичных хаотических систем можно наблюдать явление полной синхронизации хаоса: начиная с некоторого значения параметра связи колебания парциальных систем становятся полностью идентичными.
Рассмотрим систему однотипных взаимодействующих осцилляторов
(7)
где α1 и α2 – векторные параметры осцилляторов. Если α1 = α2, то парциальные системы полностью идентичны. Функция g(…) определяет характер связи, причем g(x1,x1) = g(x2,x2) = 0. В случае полной идентичности парциальных осцилляторов в фазовом пространстве системы (6) существует инвариантное многообразие U (x1 = x2), называемое симметричным подпространством. Фазовые траектории, лежащие в U, соответствуют полностью синхронным колебаниям.

Если предельное множество, принадлежащее U, притягивает фазовые траектории не только из U, но и из некоторой окрестности симметричного подпространства, то наблюдается полная синхронизация колебаний (в том числе хаотических).
Полная синхронизация хаоса в двух связанных осцилляторах
Рёсслера
Модель:
(8)

Проекции аттракторов в системе (8) в режиме полной синхронизации при α = β = 0.2, μ = 6,5, γ = 0.02
y2
U
U

Замечания.
Полная синхронизация может наблюдаться не только в режиме спирального хаоса, но и в более сложных хаотических режимах (например для аттрактора Лренца).
Полная синхронизация хаоса наблюдается не только для автоколебательных систем, но и для взаимодействующих нелинейных осцилляторов, находящихся под воздействием одной и той же внешней силы (например в системе двух связанных осцилляторов Дуффинга).
Полная синхронизация хаоса наблюдается в связанных идентичных отображениях.