Планиметрия. Решение задач ГИА и ЕГЭ 2014 презентация

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Геометрия является одним из центральных разделов школьной математики. Но по ряду причин иногда изучение именно этого раздела вызывает у учащихся затруднения.
Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики.
Задания частей В и С единого государственного экзамена содержат задания по геометрии, в том числе и из планиметрии. Итоги предыдущих лет показали, что учащиеся с данными заданиями справлялись хуже, а иногда даже не выполняли их, что связано с малым опытом решения геометрических задач. Одно из назначений данной презентации восполнить этот пробел.
Все задачи взяты из открытого банка задач: http://mathege.ru/
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Геометрия является одним из центральных разделов школьной математики. Но по ряду причин иногда изучение именно этого раздела вызывает у учащихся затруднения.
Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики.
Задания частей В и С единого государственного экзамена содержат задания по геометрии, в том числе и из планиметрии. Итоги предыдущих лет показали, что учащиеся с данными заданиями справлялись хуже, а иногда даже не выполняли их, что связано с малым опытом решения геометрических задач. Одно из назначений данной презентации восполнить этот пробел.
Все задачи взяты из открытого банка задач: http://mathege.ru/

содержание
треугольник
параллелограмм
прямоугольник, ромб, квадрат
трапеция
вписанная окружность и описанная окружность
площади

Решение:
∆ ABС – прямоугольный.
АВ = 26; ВС =10.
по теореме Пифагора:
содержание
Задача:
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26.
Один из его катетов равен 10. Найдите другой катет.
Ответ: 24

В треугольнике ABC АС = ВС , угол C равен 120˚ , АВ = 2√3 . Найдите AC.
Решение:
∆ ABС – равнобедренный
проведем СН,
СН – медиана, биссектриса, высота.
АН = ВН = 2√3 : 2 = √3;
ےAСН = ےBСН = 120˚ : 2 = 60˚
∆ ABН – прямоугольный.
Ответ: 2
содержание
Н

Задача:
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию.
Найдите периметр треугольника.
Решение:
∆ ABD - равнобедренный
АС = СВ = СК + КВ = 5 + 3 = 8.
касательные, проведенные из общей точки, расположенной вне окружности равны.
ВК =ВМ = 3; АЕ = АМ = 3.
AB = АМ + ВМ = 3 + 3 = 6.
РАВС = АС +ВС + АВ = 8 + 8 + 6 = 22
Ответ: 22
К
М
Е
содержание

Задача:
Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 70. Найдите большую сторону параллелограмма.
Решение:
в параллелограмме противоположные стороны равны АD = BC; AB = DC.
AD : AB = 3 : 4 и BC : DC = 3 : 4.
Р = 20.
AB = DC = 70 : (3+4+3+4)* 4= =70:14*4 = 5*4 =20.
Ответ: 20.
содержание

Задача:
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
Решение:
по условию АК : ВК = 4 : 3.
биссектриса параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
АВК – равнобедренный;
AD = AK.
AD : АВ = 4 :7.
РABCD = 88.
АВ = DC = 88 : (4+7+4+7)*7 =
= 88 : 22*7 = 4*7 = 28
Ответ: 28
К
содержание

Задача:
Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона параллелограмма на 3 больше другой.
Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Решение:
в параллелограмме противоположные стороны равны АD = BC; AB = DC.
РABCD = 46. AD + DC = 46 : 2 = 23.
AD = (23 – 3) : 2 = 10
Ответ: 10
содержание

Задача:
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.
Найдите его большую сторону.
Решение:
биссектриса параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
АВЕ – равнобедренный;
АВ =АЕ =5.
СDE –равнобедренный
CD = DE = 5
AD = AE = DE = 5 + 5 = 10.
Ответ: 10
содержание

Задача:
Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками.
Найдите периметр образовавшегося четырехугольника.
Решение:
HG – средняя линия треугольника ADC;
HG = 5 : 2 = 2,5.
EF – средняя линия треугольника ABC;
EF = 5 : 2 = 2,5.
GF– средняя линия треугольника BDC;
GF = 5 : 2 = 2,5.
HE – средняя линия треугольника ADB;
HE = 5 : 2 = 2,5.
PHGFE = 4*2,5 = 10
Ответ:10
содержание

Задача:
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.
Найдите его большую сторону.
Решение:
биссектриса параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
АВЕ – равнобедренный;
АВ =АЕ =5.
СDE –равнобедренный
CD = DE = 5
AD = AE = DE = 5 + 5 = 10.
Ответ: 10
содержание

Задача:
Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 28, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 24
Решение:
у прямоугольника противоположные стороны равны АD = BC; AB = DC.
РABCD = 28;
AD + DC = 28 : 2 = 14.
PABC =24.
AD + DC + AC = 24.
AC = PABC – (AD + DC) = 24 -14 =10.
Ответ: 10
содержание

Задача:
Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали пересекаются под углом 60 градусов.
Найдите диагонали прямоугольника.
Решение:
диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
AC = BD, поэтому
AO = OC = DO = OB.
∆АОD – равнобедренный,
где ےАОD = 60˚ значит
∆ АОD – равносторонний
АD =AO = OD = 6.
AC = AO +OC = 6 + 6 += 12
Ответ: 12.
содержание

.
Задача:
В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного прямоугольника
Решение:
∆ ABD – прямоугольный.
ےBAС + ےAСD = 90˚.
ے BAС : ےAСD = 2 : 1.
ے BAС = 90˚ :3 = 30˚
катет, лежащий против угла в 30˚ равен половине гипотенузы.
ВС = АС : 2. АС = 2* ВС = 2*6 =12.
Ответ: 12.
содержание

Задача:
Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого
равны 2, а острый угол равен 60˚.
Решение:
ABCD – ромб,
значит AB = BC = CD =AD.
∆ ABD – равнобедренный,
где ےBAD = 60˚ значит
∆ АBD – равносторонний.
AD =AB = BD = 2
Ответ: 2
содержание

Задача: Найдите высоту ромба, сторона которого равна √3 , а острый угол равен 60˚.
содержание

Задача:
Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания
равны 30 и 16.
Решение:
средняя линия трапеции равна половине суммы её оснований.
ЕF = (AB + DC) : 2.
ЕF = (30 + 16) : 2 = 46 : 2 = 23.
Ответ: 23
содержание

Задача:
Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.
Решение:
средняя линия трапеции равна половине суммы её оснований.
ЕF = (AB + DC) : 2.
тогда AB + DC = 2*EF
AB = 2*EF – DC
AB = 2*28 – 18 = 56 – 18 =38
Ответ: 38
содержание

Задача:
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Решение:
средняя линия трапеции параллельна основаниям
EF װ DC; EF װ AB.
AE = DE, значит по теореме Фалеса
DM = BM.
ME – средняя линия ∆ ABD.
ME = AB : 2 = 10 :2 = 5.
Ответ: 5
M
содержание

Задача:
Около окружности, радиус которой равен √8, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
О
М
содержание

Задача:
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение:
АDCB – описанная около окружности, поэтому
DC + AB = AD + CD.
DC + AB = 3 + 5 =8.
MN – средняя линия трапеции.
Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.
MN = (DC + AB) : 2 = 8 : 2 = 4
Ответ: 4
содержание

Задача:
Около окружности описана трапеция, периметр которой
равен 40. Найдите ее среднюю линию.
Решение:
АDCB – описанная около окружности, поэтому
DC + AB = AD + CD.
Р ABCD = 40.
DC + AB = AD + CD = 40 : 2 = 20
MN – средняя линия трапеции.
Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.
MN = (DC + AB) : 2 = 20 : 2 = 10
Ответ: 10
содержание

Задача:
В четырехугольник ABCD вписана окружность,
АВ =10 , СD = 16 . Найдите периметр четырехугольника.
Решение:
в описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
АD + BC = AB + DC.
АD + BC = AB + DC = 10 + 16.
Р = (AB + DC) *2 = 16*2 = 32
Ответ: 32
содержание

Задача:
Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6.
Найдите большую из оставшихся сторон.
Решение:
в описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
АD + BC = AB + DC.
РABCD =24.
АD + BC = AB + DC = 24 : 2 = 12.
5 + 6 = 11 значит заданы длины соседних сторон.
Пусть АВ = 5 и ВС = 6,
тогда АD =12 – BС = 12 – 6 =6.
DC = 12 – АВ = 12 – 5 = 7..
Ответ: 7
содержание

Задача:
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
Н
Е
содержание

Задача: Площадь параллелограмма АВСD равна 60. Точка Е – середина стороны ВС. Найдите площадь треугольника DЕС.
Решение:
Е –середина ВС.
проведем через точку Е прямую ЕК, параллельную сторонам АВ и DС.
площадь ∆ DСЕ составляет четвертую часть площади параллелограмма АВСD.
SDEC = SABCD : 4 = 60 : 4 = 15.
Ответ: 15
содержание

Задача:
Площадь треугольника АВС равна 12. КМ – средняя линия
треугольника АВС. Найдите площадь трапеции СВКМ.
содержание