Двоичная системя счисления презентация

Позиционные и непозиционные системы счисления
Система счисления – это совокупность символов, используемых для изображения чисел.
Система счисления включает в себя:
алфавит, т. е. набор символов для записи чисел,
способ записи чисел

Системы счисления делятся на два класса:
позиционные
Непозиционные
В позиционной системе значение или вес цифры в записи числа зависит от ее положения (позиции) в числе.
В непозиционной системе или вес цифры в записи числа не зависит от ее положения (позиции) в числе.
Непозиционной системой счисления является римская система.

Рассмотрим вопрос в общем.
Пусть основание позиционной системе счисления равно S, а алфавит состоит из S символов – ε1 , ε2 , ε3 ,… εS.
Любое число X в позиционной системе счисления можно представить в виде полинома от степеней основания S:
Здесь коэффициентами разложения εi являются любые из S символов ε1 , ε2 , ε3 ,… εS.
Для краткости число X изображают в виде последовательности коэффициентов разложения εi:

Позиционной является привычная для нас в повседневной жизни десятичная система счисления, в которой значение (вес) цифры зависит от ее позиции в записи числа.
В числе 1111 одна и та же цифра 1 означает последовательно единицу, десяток, сотню, тысячу
В десятичной системе счисления основание равно 10,
Алфавит состоит из 10 символов, цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В 2-ной системе основание равно 2, алфавит состоит из 2 цифр - 0 и 1.
В 16-ной системе основание равно 16, алфавит состоит из16 символов:
10 десятичных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
6 символов латинского алфавита, которым присвоены соответствующие десятичные значения:
A=10,
B=11,
C=12,
D=13,
E=14,
F=15

Позиции цифры, отсчитанные от запятой (точки), отделяющей целую часть от дробной, называются разрядами.
В позиционной системе счисления вес каждого разряда больше соседнего в S число раз.

Число в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления обычно обозначают с помощью подстрочного символа, соответствующего основанию счисления:
Например: 11012
BF16

Пример.
В десятичной системы счисления некоторое число вид X=6321.564= 6321.56410.
Значение X можно записать в виде:
Веса разряда и коэффициенты εi для этого числа будут следующими:

Двоичная система счисления
В двоичной системе счисления основание S = 2, т.е. используются всего два символа: 0 и 1.
Достоинства двоичной системы:
для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния;
простота двоичной арифметики.

Двоичная система счисления проще десятичной.
Однако двоичное изображение числа требует большего числа разрядов.

где εi =0,1.
Вес каждого разряда в двоичной системе счисления кратен 2 или 1/2.
Пример.
Двоичное число: A=1011101.0112.
В общем виде двоичное число выглядит следующим образом:

Преобразование двоичных чисел в десятичные
Для преобразования двоичных чисел в десятичные необходимо сложить десятичные веса всех разрядов двоичного числа, в которых содержатся единицы.
A=1011101.0112.

Преобразование десятичных чисел в двоичные
Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления производится следующим образом:
перевод целой части:
десятичное число последовательно делят на 2, выделяя остатки. Процедуру повторяют до тех пор пока частное, полученное в результате очередного деления, не будет равно 0.
Остатки, записанные в обратном порядке, образуют число в двоичной системе исчисления.
перевод дробной части:
дробную часть десятичного числа последовательно умножают на 2, выделяя целые части. Эту процедуру повторяют до тех пор, пока результат умножения не будет точно равен 1, либо не будет достигнута требуемая точность.
Целые части , записанные в прямом порядке, образуют дробную часть числа в двоичной системе исчисления.

Пример перевода из десятичной в двоичную: 999,35
Целая часть -999:
999=11111001112
Проверка:
Вывод: Значения чисел совпадают, перевод произведен правильно.

Дробная часть: 0,35
0,35=0,01011002
Итак: 999.3510=1111100111,01011002
Проверка:

Примеры:
548=
10 0010 01002
238=
1110 11102
6139=
1 0111 1111 10112
0.5893≈
0.1001 0110 1101 1100 01012
0.0175 ≈
0.0000 0100 0111 1010 11102
0.3046875=
0.0100 11102

Для перевода целого число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады, начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.
Пример. Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
10111000112 = 0010 1110 00112 =2E32
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
EE816=1101 1101 10002

Двоичная арифметика
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами определяются арифметическими действиями над одноразрядными двоичными числами.

Правила выполнения арифметических действий во всех позиционных системах счисления аналогичны.
Сложение
Пример.
Сложить два числа в десятичном и двоичном представлении.
9910 и 9510 .
Сложение в десятичном представлении:

Переводим из десятичной в двоичную:
Слагаемое 1 09910 =011000112
Слагаемое 2 09510 =010111112
Сложение в двоичном представлении:
Проверка результата:
Переводим: 110000102=
99+94=194
19410
Вывод: Результаты сложения в десятичной и двоичной системе одинаковы, результат сложения верен.

Пример.
Вычесть из числа 10910 число 04910 в десятичном и двоичном представлении:
Вычитание
Вычитаем в десятичном представлении:

Переводим в двоичную систему:
Уменьшаемое 10910 = 011011012
Вычитаемое 04910 = 001100012
Вычитаем в двоичной системе:
Проверка результата:
Переводим: 1111002=
109-49=60
6010
Вывод: Результаты вычитания в десятичной и двоичной системе одинаковы, результат вычитания верен.

Умножение
Операция перемножения многоразрядных чисел производится путем образования частичных произведений и последующего их суммирования.
Частичные произведения формируются в результате умножения множимого на каждый разряд множителя.
Каждое частичное произведение смещено относительно предыдущего на один разряд.

Вычисляем произведение в двоичной форме (в «ручном» виде):
Проверка результата:
Переводим: 1011110012=
29*13=377
37710
Переводим в двоичную форму:
2910=111012
1310=11012
Вывод: Результаты умножения в десятичной и двоичной системе одинаковы, результат умножения верен.

Умножение в ЭВМ («Машинное» умножение)
В ЭВМ процесс суммирования частичных произведений производится последовательно:
формируется одно частичное произведение,
к нему с соответствующим сдвигом прибавляют следующее частичное произведение
и т.д.
Т.е. не формируются не все частичные произведения сразу.

Поскольку умножение идет в двоичной системе счисления, то частичное произведение:
равно либо 0 (если в соответствующем разряде множителя стоит 0),
либо является копией множимого, смещенного на соответствующее число разрядов влево (если в разряде множителя стоит 1).

Рассмотрим на примере два машинных варианта выполнения умножения целых чисел:
начиная со старшего частичного произведения (“старшими разрядами вперед”)
начиная с младшего частичного произведения (“младшими разрядами вперед”).

Метод умножения «старшими разрядами вперед»
Формируется первое частичное произведение: первый множитель умножается на старший разряд второго множителя,
Результат сдвигается на один разряд влево
Формируется второе частичное произведение: первый множитель умножается на второй по старшинству разряд второго множителя
Складываются первое частичное произведение (смещенное) со вторым частичным произведением
И т.д., повторяются пункты 2, 3 и 4.

Найти произведение двух чисел
X*Y=29*13=111012*11012= 373.
Умножение старшими разрядами вперед:
Проверка: 1011110012=373
29*13=373
Вывод: Результаты умножения в десятичной и двоичной системе одинаковы, результат умножения верен.

Метод умножения «младшими разрядами вперед»
Формируется первое частичное произведение: первый множитель умножается на младший разряд второго множителя,
Результат сдвигается на один разряд вправо
Формируется второе частичное произведение: первый множитель умножается на второй младший разряд второго множителя
Складываются первое частичное произведение (смещенное) со вторым частичным произведением
И т.д., повторяются пункты 2, 3 и 4.

2. Умножение младшими разрядами вперед:
Проверка: 1011110012=373
29*13=373
Вывод: Результаты умножения в десятичной и двоичной системе одинаковы, результат умножения верен.

Деление
Деление – операция, обратная умножению, поэтому при делении двоичных чисел, так же как и в десятичной системе счисления, операция вычитания повторяется до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше вычитаемого. Число этих повторений показывает, сколько раз вычитаемое укладывается в уменьшаемом.
Пример.
Вычислить 204 /12 в двоичном коде.
204=110011002;
12=11002