كتاب رياضيات و كاربرد آن در مديريت презентация

مؤلف: ليدا فرخي
تهيه ي پاور پوينت: اردوان ميرزايي
تعداد واحد : 3

اهداف درس
توانايي حل مسئله
تقويت تفكر رياضي
آشنايي با: بردارها
ماتريس و دترمينان
دستگاه معادلات خطي و توابع خطي
توابع چند متغيره و معادلات ديفرانسيل
انتگرال

فهرست مطالب
فصل اول: بردارها
فصل دوم:ماتريس و دترمينان
فصل سوم: دستگاه معادلات خطي و توابع خطي
فصل چهارم: توابع چند متغيره
فصل پنجم:معادلات ديفرانسيل
فصل ششم: انتگرال

فصل اول: بردارها
بردارها در صفحه
ضرب عددي دو بردار
بردارها در فضاي سه بعدي
ضرب برداري بردارها
بردارها در فضايn بعد

فصل دوم:ماتريس و دترمينان
ماتريس
دترمينان
وارون ماتريس

فصل سوم: دستگاه معادلات خطي و توابع خطي
دستگاه معادلات
استقلال و وابستگي خطي
رتبه ي يك ماتريس
توابع خطي

فصل چهارم: توابع چند متغيره
توابع چند متغيره
حد و پيوستگي توابع چند متغيره
مشتق هاي جزيي
ديفرانسيل كل و مشتقگيري ضمني
ماكسيمم و مينيمم توابع دو متغيره
ماكسيمم و مينيمم توابع نسبت به شرايط داده شده

فصل پنجم:معادلات ديفرانسيل
آشنايي معادلات ديفرانسيل
معادلات ديفرانسيل جدايي پذير

فصل ششم: انتگرال
انتگرال

فصل اول: بردارها

كميتهايي مانند سرعت يا شتاب يك متحرك و نيروي وارد بر يك جسم هنگامي مشخص مي شوند كه علاوه بر اندازه سو و جهتشان نيز معين باشد.اين نوع كميت ها را برداري مي ناميم.

برخي از كميت ها هنگامي كه اندازه ي آنها بر حسب واحد مشخصي داده شود كاملا معين مي شوند.
مانند درجه ي حرارت، جرم، طول و حجم ، هزينه و درآمد. اين گونه كميت ها را عددي يا اسكالر مي ناميم.

1.1بردارها در صفحه

1.1.1تعريف
است، يك پاره خط B و انتهاي آن Aكه ابتداي آن AB پاره خط
A
B
جهت دار ناميده مي شود. به شكل زير توجه كنيد:
نمايش ميدهيمAB رايك بردار مي ناميم و باABپاره خط جهت دار
را انتهاي برداَرمي ناميم. B را مبدا و نقطه ي A نقطه ي

1.1.2 تساوي دو بردار
دو بردارAB و CD را برابر يا همسنگ مي ناميم و مينويسيم AB=CD ، اگر اندازه و جهت آنها يكي باشد.
A
B
C
D

1.1.3 جمع بردارها
دو بردار AB وCD را در نظر مي گيريم.مجموعAB+CD برداري است مانند V كه به يكي از دو روش زير به دست مي آيد.
با توجه به تعريف تساوي دو بردار، مي توان دو برداررا كه داراي يك مبدا نباشند نيز با يكديگر جمع كرد.

روش اول
از نقطه ي B بردار BE را برابر با بردارCD رسم مي كنيم.
بردارV=AE مجموع دو برذارAB وCD است.
A
B
E
C
D
V=AB+BE=AB+CD
V=AE

روش دوم
از نقطه ي دلخواه P، دو برابرPQ وPR را كه به ترتيب برابر با بردارهايAB وCD هستند ، رسم مي كنيم. بردارPS قطرمتوازي الاضلاع حاصل از اين دو بردار برابر با Vمجموع دو بردارAB وCD است.
P
R
V
S
Q
C
D
A
B
P=V=PQ=AB+CD

1.1.4 بردار صفر
اگر اندازه ي بردارV برابر صفر باشد يعني V =0 ، بردارV را بردار صفر مي ناميم و0 با نشان مي دهيم. بنا بر اين اندازه ي0 برابر صفر است ، ولي جهت آن مشخص نيست.

1.1.5 ضرب عدد در بردا ر(ضرب اسكالر)
فرض مي كنيمV برداري دلخواه وC عددي حقيقي باشد.منظور از حاصلضرب عددC در بردارV برداري است با اندازه ي C V و همجهت با VاگرC>0 و در خلاف جهتV اگرC<0. حاصلضرب عددC در بردارV را باCV نشان مي دهيم.در شكل :اگرC=0 آنگاهCV برابر است با بردار صفر.
V
V
CV
CV

1.1.7 تعريف
بردارV را كه ابتداي آن مبدا مختصات و انتهاي آن نقطه ي (a1 , a2)است در صفحه ي مختصات xoy است ، بردار نظير زوج مرتب (a1 , a2) مي ناميم. اعداد a1 و a2 را مؤلفه هاي بردارV ميناميم و مي نويسيم:
V= (a1 , a2)
a1
a2
(a1 , a2)
0
V

1.11 قضيه
اگرV1=(a1,a2) وV2=(b1,b2) دو بردار باشند ، آنگاه مجموع V1+V2 برابر است با:
V1+V2= (a1+b1 , a2+b2)

1.1.13 تعريف قرينه ي يك بردار
اگرV=(a1,a2)، آنگاه بردار(-a1,-a2) را قرينه ي بردارV مي ناميم و با-V نشان مي دهيم. پس:
-V=(-a1, -a2)

1.1.14 تعريف تفاضل دو بردار
بردارV+(-U) را كه مساوي با جمعV با قرينه يU است تفاضلU ازV مي ناميم و باV-U نشان مي دهيم. يعني:
V-U=V+(-U)

1.15 تعبير هندسي تفاضل دو بردار
نمايش هاي دو بردارV وU را از يك نقطه رسم مي كنيم. در اين صورت، پاره خط جهت داري كه مبدا آن نقطه ي انتهايي نمايشU و انتهاي آن، نقطه ي انتهايي نمايشV باشد ، يك نمايش بردارV-U است. زيرا بنا بر تعريف جمع بردارها داريم:
U+(V-U)=V

1.1.16 اندازه ي يك بردار
اندازه ي بردار V=(a1,a2) برابر است با:
V = a1+a2
2
2

1.1.18 قضيه
اگرV وU وW بردارهايي در V بوده وc وd اعدادي حقيقي باشند، آنگاه جمع برداري و ضرب اسكالر داراي خواص زيرند:
U+V=V+U ( قانون جا به جايي جمع)
U+(V+W)=(U+V)+W (قانون شركت پذيري جمع)
برداري مانند 0 درV وجود دارد به طوري كهV+0=V (وجود هماني نسبت به عمل جمع)
برداري مانند-V وV در هست به طوري كه V+(-V)=0(وجود قرينه ي هندسي نسبت به عمل جمع)
x

ادامه
(cd) V=c (dV) ( قانون شركت پذيري)
C (U+V)=cU+cV ( قانون بخشپذيري)
(c+d)U=cU+dU ( قانون بخشپذيري)
U=U ( وجود هماني نسبت به ضرب اسكالر)
+
-

1.1.20 تعريف فضاي برداري حقيقي
فضاي برداري حقيقيV مجموعه اي است از بردارها، همراه با مجموعه اعداد حقيقي ( اسكالرها) ، با دو عمل جمع برداري و ضرب اسكالر، به طوري كه هر جفت بردارU وV درV و هر اسكالرc ، بردارهايU+V وcU طوري تعريف شده باشند كه در خواص قضيه ي قبل صدق كنند.

بردارهاي يكه
اندازه ي هر دو بردار (0و1) و(1و0) ، برابر با 1 است، آنها را بردارهاي يكه مي ناميم و با نمادهاي زير نشان ميدهيم.
i = (1,0)
j = (0,1)

با توجه به نماد گذاري گذشته براي هر بردارV=(a1,a2) به
دست مي آوريم:
(a1,a2)=a1 (1,0)+a2 (0,1)=a1 i+ a2 j

بنابر اين هر بردارV2 در را مي توان به صورت يك تركيب
خطي از دو بردارi وj (عبارتي به صورت a1 i + a2 jرا يك
تركيب خطي ازi وj مي نامند.) نوشت. از اين رو بردارهايi وj
يك پايه براي فضاي برداريV2 تشكيل مي دهند . تعداد عناصر
يك پايه يك فضاي برداري ، بعد فضاي برداري نام دارد.
بنابر اينV2 يك فضاي برداري دو بعدي است.

1.1.25 تعريف توازي بردارها
دو بردار نا صفرU وV را موازي مي ناميم ، در صورتي كه اسكالر (عدد حقيقي )c وجود داشته باشد، به طوري كهV=cU .

1.1.25 قضيه
اگرV بردار نا صفري باشد ، آنگاه
U = V
1
v
بردار يكه ( واحد) هم جهت باV است.

1.2 ضرب عددي دو بردار

1.2.1 تعريف ضرب عددي دو بردار
اگر U=(a1,a2) وV=(b1,b2) دو بردار درV2 باشند ، آنگاه حاصلضرب عددي دو بردارU وV را باU.V نشان مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم:
U.V=(a1,a2).(b1,b2)=a1 b1+a2 b2

توجه مي كنيم كه حاصلضرب عددي دو بردار ، عددي حقيقي است و بردار نيست. اين حاصلضرب داخلي يا حاصلضرب نقطه اي دو بردار نيز ناميده مي شود.

1.2.4 قضيه
اگرU وV وW بردارهايي درV2 بوده وc يك اسكالر باشد. آنگاه:
U.V=V.U .1
U.(V+W)=U.V+U.W .2
(U+V).W=U.W+V.W .3
c(U.V)=(cU).V=U.(cV) .4
0.U=0 .5
V.V= V .6

1.2.5 تعريف زاويه ي بين دو بردار
فرض مي كنيمU وV دو بردار نا صفر باشند به طوريU كه مضرب اسكالري ازV نباشد.اگرOP وOQ به ترتيب بردارهاي نمايشگرU وV باشند.آنگاه زاويه ي بينU وV را كوچكترين زاويه ي بين دو پاره خطOP وOQ تعريف مي كنيم.

شكل زيرزاويه ي بين دو بردار را ذر حالتي كه مضرب اسكالري از نباشد، نشان مي دهد:
x
y
u
v
Q
P
θ

1.2.6 قضيه
اگر θ زاويه ي بين دو بردارU وV باشد،آنگاه:
U.V= U V cos θ

1.2.8 نتيجه
از قضيه ي قبل نتيجه مي شود كه دو بردارU وV بر هم عمودند ( متعامدند) اگر و تنها اگر:
U.V=0

1.2.10 تصوير يك بردار بر روي بردار ديگر
فرض مي كنيمOP وOQ به ترتيب نمايشگرهاي بردارهاي UوV باشند.تصويرOQ در جهت OP،بردارOR است،كه در آنR پاي عمود از نقطهQ ي بر خطي است كه از دو نقطه ي كه از دو نقطهD وP مي گذرد.

شكل: تصوير بردارV بر روي بردارP
x
y
v
u
o
p
Q
R
θ

1.2.11 تعريف
اگرU بردار ناصفري باشد، تصوير برداريV روي بردارU به صورت زير تعريف مي كنيم:
Proj = u
v
u
U.V
U
2

تصوير اسكالرV روي U برابر باV cosθ است . با توجه به قضيه داريم:
V cosθ = =V.( )
V.U
U
U
U

1.3 بردارها در فضاي سه بعدي

1.3.1 تعريف
مجمو عه ي تمام سه تايي هاي مرتب از اعداد حقيقي را فضاي عددي سه بعدي مي ناميم و باR نشان مي دهيم. هر سه تايي مرتب (z وy وx) را يك نقطه در فضاي عددي سه بعدي مي ناميم.

1.3.2 قضيه
فاصله ي بين دو نقطه ( zو yوx) p و ( zو yوx) p برابر است با:
1
1
1
2
2
2
pp = (x –x )+(y –y )+(z –z )
1
1
1
1
2
2
2
2

1.3.4 تعريف
يك بردار در فضاي سه بعدي، يك سه تايي مرتب از اعداد حقيقي به صورت ( a وa و a ) است. اعدادa ،a وa را مولفه هاي بردار ( a و aوa ) مي ناميم. مجموعه تمام بردارهايي به صورت ( a و a و a)را با V3 نشان مي دهيم.
1
1
1
2
2
2
3
3
3
3
2
1

اگر بردارهاي يكهi وj وk عبارت باشند از:
i=(1,0,0) j=(0,1,0) k=(0,0,1)
آنگاه هر بردار در را مي توان به صورت
زير نوشت:
V=(a1,a2,a3(
V3
V=(a1,a2,a3)=a1 i+ a2 j+ a3 k

1.3.5 تعريف
سه زاويه يα وβ وδ زوايايي كه بردارV نا صفر به ترتيب با جهت مثبت محورهاي x وy وz مي سازد را زواياي هاديV مي ناميم.توجه كنيد كه هر زاويه ي هادي بزرگتر يا مساوي0 و كوچكتر يا مساويп است.

زواياي هادي بردار (V=(a1,a2,a3 در شكل نشان داده شده است.
x
y
z
o
R
a1
a3
a2
p =(a1,a2,a3 )
α
β
δ
V

در شكل مؤلفه هايV اعدادي مثبت و زواياي هادي آن مثبت و كوچكتر2п/ از هستند.به طوري كه در شكل ديده مي شود، مثلث قايم الزاويهOPR است و داريم :
COSα=
OR
OP
a1
V
=

مي توان نشاشن داد كه دستور اخير به ازايп п/2 ≤α≤ نيز بر قرار است.دستور هاي مشابهي برايCOSβ و α COS به دست مي آيند.
COSβ
=
COS α
=
a2
a3
V
V

اعداد α COS و COSβ وδ COS راكسينوسهاي هادي بردارV مي نامند.
توجه كنيد كه بردار صفر ، زواياي هادي و در نتيجه كسينوس هاي هادي ندارد.

1.3.7 نكته
اگر اندازه ي يك بردار و كسينوسهاي هادي آن معلوم باشند،آنگاه بردار به طور منحصر به فردي معي است، زيرا:
COS α
COSβ
COS δ
V
V
V
a1=
a2=
a3=

1.3.8 قضيه
اگر COS α و COSβ و COS δ كسينوسهاي هادي بردار Vباشند،آنگاه:
COS α
COSβ
COS δ
+
+
=
1
2
2
2

1.3.15 نتيجه
از قضيه و تعريف كسينوسهاي هادي نتيجه مي شمد كه مؤلفه هاي يك بردار يكه كسينوسهاي هادي آن هستند.

به عبارت ديگر اگر (V=(a1,a2,a3 بردار يكه هم جهت با V باشد آنگاه:

در مورد بردارهاي فضايي اعمال جمع ، تفريق،ضرب اسكالر و ضرب عددي دو بردار درV3 ،مشابه آنچهV2 در تعريف مي شوند.
فرض مي كنيم U=(a1,a2,a3) و V=(b1,b2,b3) يك اسكالر باشد.داريم:

الف
ب

پ
ت

1.3.14نكته
به آساني مي توان نشان داد كه:
1
0

1.3.15قضيه
اگرθ زاويه ي بين دو بردار نا صفرU وV درV3 باشد آنگاه:

1.3.16تعريف
دو بردار درV3 را موازي مي ناميم اگر و تنها اگر يكي از بردارها مضرب اسكالري از ديگري باشد.

1.3.17قضيه
دو بردار نا صفر درV3 موازي اند اگر و تنها اگر زاويه ي بين آنها0 ياп باشد.

1.3.18قضيه
دو بردار نا صفرU وV درV3 متعامدند اگر و تنها اگر
U.V=0

1.4ضرب برداري بردارها

1.4.1تعريف
اگر U=(a1,a2,a3) و V=(b1,b2,b3) آنگاه حاصل ضرب برداريU درV با نشانU*V مي دهيم.برداري است كه به صورت زير تعريف مي شود:
U*V=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)

براي سهولت در يادگيري و به ذهن سپردن دستور U*V ، از نماددترمينين استفاده مي كنيم.يك دترمينان مرتبه ي دوم را به صورت زير تعريف مي كنيم:

با استفاده از نماد دترمينان دستور محاسبه ي U*V به صورت زير در مي آيد:

سمت راست عبارت اخير را مي توان با نماد زير نشان داد:

1.4.3قضيه
اگرU وV بردارهايي درV3 باشند، آنگاه:
U*V= - (V*U)

1.4.4قضيه
اگرi وj وk بردارهاي يكه يV3 باشند، آنگاه:

1.4.5قضيه
اگرU وV وW بردارهايي درV3 وc يك اسكالر باشد آنگاه:

1.4.7قضيه
اگرU وV دو بردارV3 وθ زاويه ي بينU وV باشد،آنگاه:
U*V = U V sinθ

1.4.9نتيجه
اگرU وV دو بردار نا صفر درV3 باشند آنگاه و موازي اند اگر و تنها اگرU*V=0

1.4.11قضيه
اگرU وV وW سه بردار درV3 باشند، آنگاه:

1.4.12تعريف
فرض مي كنيم U=(a1,a2,a3) و V=(b1,b2,b3)و =(c1,c2,c3) W. حاصلضربU.(V*W) را حاصلضرب عددي سه گانه بردارهاي UوV وW مي ناميم.

حاصلضرب عددي سه گانه برابر است با:

حاصلضرب عددي سه گانه يك اسكالر است.

1.4.13قضيه
اگرU وV دو بردار نا صفر در باشند آنگاه:

1.5بردارهاي فضاي n بعدي

1.5.1تعريف
فرض كنيدn عدد صحيح مثبتي باشد، n تايي مرتب (x1,x2…,xn)مجموعه اي ازn عدد است كه به ترتيب معيني نوشته شده اند.

اعداد حقيقي xn,……,x2,x1 را به ترتيب مؤلفه هاي اول تا nام اينn تايي مرتب مي خوانيم.مجموغه ي تمام nتايي هاي مرتب را با R نشان مي دهيم.
n

دو تايي مرتبY=(y1,y2,…yn) وX=(x1,x2,…xn) را برابر مب ناميم اگر و تنها اگر براي هرi=1,2,…n داشته باشيم:
xi=yi

1.5.3تعريف
فرض مي كنيمU=(a1,a2,…an) وV=(b1,b2,…bn) دو بردار درVn وc عدد حقيقي (اسكالر) باشد.

مجموع دو بردار و ضرب اسكالر عدد در بردار به صورت زير تعزيف مي شود:
U+V=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)
cU=(ca1,ca2,…,can)

1.5.4قضيه
فرض مي كنيم U وV و W سه بردار درVn وc وk دو اسكالر (عدد حقيقي) باشند. در اين صورت
الف)جمع بردارها جا به جايي پذير است، يعني
U+V=V+U

ب) جمع بردارها شركت پذير است، يعني
(U+V)+W=U+(V+W)
پ)عمل جمع داراي عضو خنثي است يعني بردار0=(0,0,…,0) بردار صفرn مؤلفه اي وجود دارد به طوري كه
U+0=U

ت) براي هرU بردار قرينه U – وجود دارا به طوري كه
U+(-U)=0
ث)c (U+V)=c U +c V
‍ج)(c k) U=c (k U)
ح)(c+ k) U=c U +k U
خ)وجود هماني نسبت به ضرب اسكالر،يعني
1U=U

1.5.5تعريف
طول بردار U=(a1,a2,…an) برابر است با

فصل دوم:ماتريس و دترمينان

در اين فصل با معرفي ماتريس مفهوم بردار را تعميم مي دهيم.همچنين انواع ماتريس،ماتريسهاي خاص و اعمال جبري روي ماتريس ها ،دترمينين و وارون ماتريس را مورد مطالعه قرار مي دهيم.

2.1ماتريس

2.1.1تعريف
هر جدولي از اعداد را كه شامل m سطر وn ستون باشد،يك ماتريس mدرn مي ناميم و به شكل زير نشان مي دهيم.
يا

هر يك از اعدادaij را يك عنصر يا درايه ماتريس مي ناميم.در اينجاi انديس سطر وj انديس ستون است،به بيان ديگر ،عنصرaij در محل تلاقي سطرi ام و ستونj ام ماتريس قرار دارد.

2.1.2تعريف
الف)هر گاه ماتريسA=(aij)mn تنها داراي يك سطر باشد،يعنيm=1 ،اين ماتريس را يك ماتريس سطري (بردار سطري)مي ناميم.
ماتزيس ‌‌‌‍[1و4و3-] يك ماتريس سطري است.

اگر ماتريس A=(aij)mn تنها داراي يك ستون باشد.يعني n=1،اين ماتريس را يك ماتريس ستوني (بردار ستوني)مي ناميم.
ماتريس يك ماتريس ستوني است.

پ) اگر تمام عناصر ماتريس A=(aij)mn صفر باشند آن را ماتريس صفر مي ناميم و به صورتA=0mn يا A=0نشان مي دهيم.مانند:
Fيك ماتريس صفر2*3 است.

2.1.3تعريف
ماتريسي را كه تعداد سطرها و تعداد ستونهايش برابر باشد، يك ماتريس مربع مي ناميم.به بيان ديگر A=(aij)mn يك ماتريس مربع است اگر و تنها اگرm=n

در ماتريس مربع A=(aij)mn ،قطري را كه شامل عناصر a11,a22,…,ann قطر اصلي و اين عناصر را عناصر قطر اصلي مي ناميم.

2.1.4تعريف
ماتريس مربع A=(aij)mn را يك ماتريس هماني يا واحدn*n مي ناميم اگر هر يك از عناصر قطر اصلي برابر 1 و همه ي عناصر ديگر آن صفر باشند.

ماتريس واحد n*n را با Iنشان مي دهيم .مانند:

2.1.5تعريف تساوي دو ماتريس
دو ماتريس A=(aij)mn و B=(bij)pq را برابر مي گوييم اگر m=pوn=q و براي هرi وj كهi=1,2,…mوj=1,2,…n داشته باشيم aij=bij

براي مثال:

2.1.7تعريف
فرض مي كنيم A=(aij)mn و B=(bij)mn دو ماتريس m*nوk عددي حقيقي باشد.

الف) حاصل جمع اين دو ماتريس را باA+B نشان داده و به صورت زير تعريف مي كنيم:

ب)حاصل ضرب عدد حقيقيk درA ماتريس را باkA نشان داده و به صورت زير تعريف مي كنيم:

توجه كنيد كه A+B و kA ماتريسهاي m*n هستند.توجه داشته باشيد كه جمع دو ماتريس كه داراي تعداد سطرهاي متفاوت يا تعداد ستونهاي متفاوت باشند تعريف نشده است.

2.1.9تعريف
اگر A=(aij)m0 ماتريس A (1-) را قرينه ي ماتريس A مي ناميم و با A=(-aij)m0 – نشان مي دهيم.
اگر A=(aij)mn و B=(bij)mn بنابر تعريف داريم:
A-B=A+(-B)

2.1.11قضيه
اگرA وB وC سه ماتريسm*n وk وh دو عدد حقيقي باشند آنگاه:

2.1.13تعريف
ماتريسهاي A=(aij)mp و B=(bij)pn را در نظر مي كيريم.منظور از حاصل ضربA درB ماتريسm*n اي چونc به طوري كه
حاصل ضربA درB يعنيc را باAB نشان مي دهيم.

2.1.15قضيه
اگر A=(aij)mn يك ماتريس مربعيn*n باشد آنگاه:

2.1.16قضيه
اگر A=(aij)mpو B=(bij)pq و C=(cij)qn آنگاه
A(BC)=(AB)C

2.1.19قضيه
اگر A=(aij)pnو B=(bij)pn و C=(cij)mp
C(A+B)=CA+CB

2.1.20تعريف
اگر در ماتريس A=(aij)mn جاي سطرها و ستونها را با يكديگر عوض كنيم، ماتريس حاصل را ترانهاده(Transpose) ماتريس A مي ناميم و آن را با A نشان مي دهيم. به بيان ديگر A=(bij)nmكه در آن برايi وj داريم:
bij=aij
T
T

2.1.21قضيه
اگرA وB دو ماتريسm*nوk عددي حقيقي باشد آنكاه:
الف) (A)=Aيعني ترانهاده ، ترانهاده ماتريس با ماتريس برابر است.
ب)(kA)=k(A) يعني ترانهاده مضربي از يك ماتريس با همان مضرب ترانهاده ماتريس بربار است.
T
T
T
T

پ) (A+B) = A+ B،يعني ترانهاده مجموع دوماتريس با مجموع ترانهاده هاي دو ماتريس برابر است.
ت) اگرA وB دو ماتريس مربع باشند،آنگاه(AB)=B A ،يعني ترانهاده ي حاصلضرب دو ماتريس با حاصلضرب ترانهاده ماتريس دومي در ترانهاده ماتريس اولي برابر است.
T
T
T
T
T
T

2.1.23تعريف
الف) ماتريس مربع A را متقارن مي ناميم اگر A= A .
براي مثال ماتريس زير متقارن است .توجه كنيد كه در ماتزيس متقارن عناصر ماتريس نسبت به قطر اصلي متقارن هستند.
T

ب) ماتريس A مربع را شبه متقارن مي ناميم اگرA=A . اگر يك ماتريس شبه متقارن باشد بايد براي هرi وj داشته باشيم aij=-aij اما ازaii=-aii نتيجه مي شودaii=0 .پس عناصر قطر اصلي در ماتريس شبه متقارن همگي برابر صفرند.
T

پ) ماتريس A مربع را قطري مي ناميم اگر همه ي عناصر غير واقع بر قطر اصلي آن صفر باشند.مانند:

ت) ماتريس قطري S را يك ماتريس اسكالر مي ناميم، اگر عناصر قطر اصلي آن برابر عدد ثابتK باشد، يعني

ث) ماتريس n*n وc را متعامد مي گوييم اگر :

براي مثال:
آنگاه
پسc ماتريسي متعامد است.

ج)ماتريس مربعU را ماتريس مثلثي بالا مي ناميم، اگر تمام عناصر زير قطر اصلي آن صفر باشد.مانند:

چ)ماتريس مربع Lرا ماتريس مثلثي پايين مي ناميم، اگر تمام عناصر بالاي قطر اصلي آن صفر باشد.مانند:

2.1.25تعريف
در ماتريس مربع A=(aij)nn مجموع تمام قطر اصلي را اثر A مي ناميم و باtr(A) نشان مي دهيم.پس:

2.2 دترمينان

دترمينان ماتريسA را باdet A ياA نشان مي دهيم.

2.2.1تعريف
1) ماتريس 1*1 تنها داراي يك عنصرa11 است، دترمينان اين ماتريس را برابر با عدد a11 تعريف مي كنيم.

2) دترمينان ماتريس 2*2
به صورت زير تعريف مي شود
Det A= A = = a11a22-a12a21
a11
a12
a21
a22

2.2.2تعريف
ماتريس A=(aij)nn را در نظر مي گيريم. فرض كنيد Mij ماتريسي(n-1)*(n-1) باشد كه از حذف سطرi ام و ستونj ام ماتريسA به دست آمده است. دترمينان ماتريس Mij،يعني Mij را مينور عنصر در ماتريس مي ناميم.

2.2.3تعريف
همسازه عنصر aij در ماتريس A=(aij)nn را با Aij نشان مي دهيم وبرابر با عدد زير است:

2.2.4تعريف
دترمينان ماتريس A=(aij)nn را به صورت
تعريف مي كنيم.مي گوييم دترمينيانA بر حسب سطرi ام
بسط داده شده است.

بنابر اين تعريف براي محاسبه ي دترمينان يك ماتريس، يك سطر يا يك ستون را انتخاب مي كنيم . اين سطر يا ستون را در همسازه اش ضرب ، سپس مقادير حاصل را با هم جمع مي كنيم.

اگر دترمينان را بر حسب سطر يا ستوني كه بيشترين تعداد صفر را دارد محاسبه مي كنيم، محاسبات كوتاهتر مي شود، زيرا نيازي به محاسبه ي همسازه هاي صفر نيست.چون حاصلضرب صفر در هر همسازه اي صفر است.

2.2.7قضيه(خواص دترمينان)
1) دترمينان ماتريس مربع A و ترانهادهA برابر است .يعني:
A = A
2) اگر تمام عناصر يك سطر يا يك ستون ماتريس A صفر باشند، آنگاه
A =0
T

3) اگر تمام عناصر يك سطر يا يك ستون ماتريس A در عددr ضرب مي كنيم آنگاه دترمينان ماتريس حاصل برابر با A rاست.
4) دترمينان ماتريس حاصل از تعويض دو سطر يا دو ستون ماتريس A مساوي است با منهاي دترمينان A.

5) اگر دو سطر يا دو ستون ماتريسي برابر باشند، آنگاه مقدار دترمينان آن برابر با صفر است.
6)دترمينان حاصل از جمع مضرب اسكالري از يك سطر (يا ستون) با سطري ( يا ستوني) ديگر از ماتريس A مساوي است با دترمينان A.

7) دترمينان حاصلضرب دو ماتريس برابر با حاصلضرب دترمينانهاي آنها است يعني
AB = A B
8) دترمينان يك ماتريس قطري برابر است با حاصلضرب عناصر روي قطر اصلي آن.
9) دترمينان ماتريس واحد برابر يك است، يعني
In = 1

2.2.15تعريف
اگر دترمينان ماتريس A=(aij)nn برابر صفر باشد ، ماتريس A را منفرد مي ناميم. در غير اين صورت ماتريس را غير منفرد مي ناميم.
ماتريس زير منفرد است.

2.3وارون ماتريس

2.3.1تعريف
ماتريس A=(aij)nn را وارون پذير مي ناميم ، اگر ماتريسي مانند B=(bij)nn وجود داشته باشد به طوري كه
AB=BA=In
اگرA ماتريسي وارون پذير باشد، آنگاه وارون آن منحصر به فرد است و آن را با A نشان مي دهيم.
1-

2.3.5اعمال سطري مقدماتي
ماتريس A=(aij)nn را در نظر مي كيريم. هر يك از اعمال زير را كه بر روي سطر هاي ماتريس A انجام مي پذيرد، يك عمل سطري مقدماتي مي ناميم.
1) تعويض دو سطر ماتريس A.
2) ضرب يك سطر ماتريس A در يك عدد نا صفر.
3) افزودن مضربي از يك سطر ماتريس A به سطري ديگر.

براي اختصار در نوشتن اعمال سطري مقدماتي ، از حرفR ، اول كلمه ي Rowبه معناي سطر به صورت زير استفاده مي كنيم.
الف) Ri Rj به معناي تعويض سطرi ام و سطرj ام
ب) kR1به معناي ضرب سطرi ام ماتريس در عدد ناصفرk
پ) Rj+kRiبه معناي افزودن برابر سطر ام به سطر ام

2.3.8قضيه
اگر ماتريس وارون پذير A به وسيله ي يك سلسله اعمال مقدماتي تبديل به ماتريس واحد شود، آنگاه با انجام همين سلسله اعمال سطري مقدماتي بر روي ماتريس واحد ، وارون ماتريس A به دست مي آيد.

براي به دست آوردن وارون ماتريس A معمولا اعمال سطري مقدماتي را به طور هم زمان بر روي ماتريس A و ماتريس واحد انجام مي دهند.لذا ماتريس مركب[A I] را در نظر گرفته و با انجام يك سلسله اعمال مقدماتي سطري آن را تبديل به[I B] ميكنيم.بنا بر قضيه ي بالا، برابر وارون ماتريس است.

2.3.11تعريف
ترانهاده ماتريس همسازه هاي ماتريس مربع A را ماتريس الحاقي A مي ناميم و با نشان مي دهيم ، پس:

2.3.13قضيه
اگر A يك ماتريسn*n باشد آنگاه :

2.3.13قضيه
اگرdetA=0 ،آنگاه وارون وجود دارد و برابر است با
عكس اين نتيجه نيز درست است.يعني اگرA وارون پذير باشد ، آنگاه

2.3.17قضيه
اگرA وB دو ماتريس مربع n*n و وارون پذير باشند آنگاه
الف) ماتريس حاصلضرب وارون پذير است و
ب) ماتريس ترانهادهA وارون پذير است و

پ) وارون ماتريس وارونA برابرA است ، يعني
ت) دترمينان وارون ماتريس A برابر با معكوس دترمينان A است يعني

فصل سوم: دستگاه معادلات خطي و توابع خطي

در اين فصل با استفاده از مفهوم ماتريس و دترمينان روشي براي حل و بحث در وجود جوابهاي دستگاه معادلات خطي ارائه دهيم. سپس استقلاال و وابستگي خطي يك مجموعه از بردارها را مورد بررسي قرار دهيم. در خاتمه ي فصل با توابع خطي آشنا مي شويم.

3.1دستگاه معادلات خطي

معادله اي به صورت a1x1+a2x2+…+anxn=0 با مجهول xn,…,x2,x1را يك معادله ي n مجهولي خطي مي ناميم. n تايي(x1,x2,…,xn) از اعداد حقيقي را كه در اين معادله صدق كنند يك جواب آن مي ناميم.

3.1.1تعريف
مجموعه اي از معادلات خطي
را يك دستگاهm معادله ي خطيn مجهولي مي ناميم.

تايي از اعداد حقيقي را در تمام معادله هاي دستگاه صدق كند يك جواب اين دستگاه مي ناميم.

اين دستگاه را ميتوان به صورت معادله ي ماتريسي زير نوشت:

با فرض
معادله ي ماتريسي اخير به صورت خلاصه ي زير در مي
آيد. AX=B
Aرا ماتريس ضرايب X را ماتريس مجهولها وB را ماتريس طرف دوم دستگاه معادلات خطي مي ناميم.

توجه كنيد يك دستگاه معادلات خطي ممكن است داراي يك جواب منحصر به فرد يا بينهايت جواب باشد ويا اصلا جوابي نداشته باشد.

اينك به معرفي روشهايي براي حل يك دستگاه معادلات خطي مي پردازيم.
1- روش حذف گوسي
2- دستور كرامر

3.1.2روش حذف گوسي
ميتوان نشان داد دو دستگاه معادلات خطي كه يكي از آنها به وسيله ي انجام اعمال زير روي معادلات دستگاه ديگري به دست آمده باشد داراي جواب يا جوابهاي يكسان هستند:

ضرب يك معادله ي دستگاه در عددي غير صفر.
تعويض محل دو معادله ي دستگاه و
افزودن مضربي از يك معادله به معادله ي ديكر دستگاه.

پس براي حل دستكاه AX=B بايد تا جايي كه ممكن است به وسيله ي اعمال سطري مقدماتي ماتريس[A B] را به ماتريس ساده تري تبديل كنيم تا جوابها به آساني به دست آيند.

3.1.6قضيه
اگر تعداد مجهولها با تعداد معادله ها ي يك دستگاه معادلات خطي برابر باشد (دستگاهn معادلاتn مجهولي) و ماتريس ضرايب دستگاه وارون پذير باشد آنگاه دستگاه همواره داراي يك جواب منحصر به فرد است.

3.1.8دستور كرامر
اگر ضرايب يك دستگاهn معادلاتn مجهولي وارون پذير باشد آنگاه جواب دستگاه برابر است با
كه درآن Ai ماتريس حاصل از جايگزين كردن
ماتريس ستوني در ستون iام ماتريسA است.
فرمول * را دستور كرامر مي ناميم.

3.1.10تعريف
اكر در دستگاهm معادله يn خطي مجهولي طرف دوم تمام معادلات صفر باشند دستگاه را همگن مي ناميم. در غير اين صورت دستگاه را غير همگن مي ناميم.

روشن است كه در دستگاه همگن هموارهx1=x2=…=xn=0 يك جواب دستگاه هست. اين جواب به جواب بديهي دستگاه موسوم است.

3.1.11قضيه
دستكاهn معادله ي خطيn مجهولي همگن داراي يك جواب غير بديهي ( غير صفر) است. اگر و تنها اگر دترمينان ضرايب دستگاه صفر باشد.

3.1.13نتيجه
يك دستگاه m معادله يn خطي مجهولي همگن همواره داراي يك جواب غير بديهي ( غير صفر) است اگر
m

3.1.15قضيه
اگرX1 وX2 دو جواب دستگاه غير همگن AX=B باشند آنگاهX2-X1 جوابي براي دستگاه همگن AX=0 است.

3.1.13نتيجه
دستگاه غير همگن AX=B داراي يك جواب منحصر به فرد است اگر و تنها اگر جواب AX=0 منحصر به فرد باشد.

3.2استقلال و وابستگي خطي

3.2.1تعريف
مجموعه يm بردار{V1,V2,…,Vn} از عناصر فضاي برداري R را مستقل خطي مي ناميم اگر هيچ مجمو عه اي از اعداد حقيقي c1,c2,…,cn به جزc1=c2=…=cm=0 وجود نداشته باشد به طوري كه

به بيان ديگر مجموعه يm بردار{V1,V2,…,Vn} مستقل خطي است تنها جواب معادله ي
برابر با c1=c2=…=cm=0 باشد. در غير اين صورت اين مجموعه را وابسته ي خطي مي ناميم.

3.3رتبه ي يك ماتريس

در اين بخش به هر ماتريس عدد صحيح و مثبتي به نام رتبه ي ماتريس را نسبت مي دهيم. با استفاده از اين عدد در مورد جوابهاي دستگاههاي معادلات خطي را بررسي مس كنيم.

3.3.1تعريف
فرض كنيمA ماتريسيm*n باشد. حداكثر تعداد سطرهاي مستقل خطي ماتريسA را رتبه ي ماتريسA مي ناميم و با نشانr(A) مي دهيم.

به عبارت ديگر اگرR1,R2,…,Rm سطرهاي ماتريسA باشند رتبه يa برابر با حداكثر تعداد بردارهاي مستقل خطي در مجموعه ي{R1,R2,…,Rm} است.

يك روش تعيين رتبه ي ماتريسA اين است كه بزرگترين زير ماتريس مربع A را كه دترمينانش مخالف صفر باشد به دست آوريم ، تعداد سطرهاي اين ماتريس برابر رتبه ي ماتريس A است.

3.3.6خواص رتبه ي ماتريس
الف) رتبه ي ماتريس واحدIn برابر باn است، يعني:
ب) رتبه ي ماتريسA با رتبه ي ترانهاده ي A برابر است ، يعني:

پ) اگر A ماتريس n*nباشد آنگاهr(A)=n اگر و تنها اگرdet A=0 به بيان ديگرr(A)
det A=0 .
ت) رتبه ي حاصلضرب دو ماتريس همواره نابيشتر از كوچكترين رتبه دو ماتريس است ، يعني:

3.3.7نتيجه
اينك با استفاده از مفهوم رتبه ي ماتريس به طور خلاصه به بررسي جوابهاي دستگاه معادلات خطي AX=B در حالتهاي مختلف مي پردازيم.
فرض مي كنيم ماتريس ضرايب A ، باشد.m برابر با تعداد معادلات وn مساوي با تعداد مجهولهاي دستگاه است. رتبه ي ماتريس مركب[A B] را باr(A B) نشان مي دهيم.

الف) اگرr(A B)=r(A) آنگاه دستگاه داراي حداقل يك جواب است.
ب) اگر r(A B)=r(A)=n آنگاه دستگاه داراي يك جواب منحصر به فرد است.
پ) اگر
ت) اگر r(A B)=r(A) آنگاه دستگاه جواب ندارد.

3.4توابع خطي

در اين بخش به مطالعه ي توابع خطي كه توابعي از يك فضاي برداري به فضاي برداري ديگري هستند مي پردازيم.

3.4.1تعريف
تابع n متغيره يf از فضاي برداريR به فضاي برداري R را كه به ازاي هر عدد حقيقيr و هر دوn تايي
از R در دو شرط زير صدق مي كند، يك تابع خطي مي ناميم.
n
m
n

3.4.3قضيه
تابعf: R R خطي است.اگر و تنها اگر هر مؤلفه مقدا رتابع
fدر به صورت يك تركيب خطي از اعداد
x1,x2,…,xn باشد.
n
n

از اين قضيه نتيجه مي شود كه اگرf : R R تابع خطي با شد آنگاه اعداد حقيقي
وجود دارند به طوري كه
n
m

بنا بر اينA=(aij)m*n قرار دادن مقدار تابع خطيf را ميتوان به ازاي هرx R به صورت ماتريسي
F(x)=Ax
نوشت.ماتريسA را يك ماتريس نمايشگر تابع خطي Fميناميم.
n

3.4.6تعريف
تابعF : R R را كه براي هر به صورت زير تعريف مي شود، تابع صفر مي ناميم.
تعريف ميشود .تابع هماني مي ناميم.
m
n

3.4.7تعريف
تابعI: R R را كه براي هرX Є R به صورت
n
n
n

3.4.8تعريف
توابع خطي f : R R و g : R R را در نظر مي گيريم:
مجموع f وg را باf+g نشان ميدهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم:
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
2) فرض ميكنيمk عددي حقيقي باشد.حاصلضرب عدد حقيقيk درf را با نشان kf ميدهيم و به صورت زير مي نويسيم.
(kf)(x)=k f(x)
m
n
n
m

فصل چهارم:توابع چند متغيره

در فصل هاي قبل با توابعي سر و كار داشتيم كه تنها وابستهبه يك متغير بودند. اين نوع توابع را يك متغيره مي ناميم. ولي اكثر توابع در اقتصاد و مديريت به بيش از يك متغير وابسته اند.

فرض كنيد هزينه ي ماهانه ي خانواده اي بستگي به مقدار مصرف آنها از مواد غذايي،پوشاك،خدمات مسكوني و خدمات بهداشتي و درماني دارد.پس مس توان گفت تابع هزينه ي اين خانواده يك تابع 4 متغيره است.

4.1توابع چند متغيره

تابعf كه قلمرو آن زير مجموعه اي ازR و برد آن زير مجموعه اي از اعداد حقيقي باشد.يك تابع n متغيره مي ناميم.
n

اگرf يك تابعn متغيره باشد هر عنصر قلمرو آن ،n تايي (x1.x2,…,xn)است ، مقدار تابع به ازاي اين عنصر قلمرو را با f(x1.x2,…,xn) نشان مي دهيم.

4.1.3تعريف
اگرf,g دو تابع n متغيره باشند آنگاه براي هرx ازR و هر عدد حقيقي k، اعمال جبري زير تعريف مي شود.
n

4.2حد و پيوستگي توابع چند متغيره

4.2.1تعريف
فرض مي كنيم f يك تابع دو متغيره باشد مي گوييم حد تابع f در نقطه ي (a,b)برابر با Lاست . هنگامي كه نقطه (x,y) به نقطه ي (a,b) نزديك و نزديكتر مي شود مقدارf(x,y) به عدد حقيقيL نزديك و نزديكتر شود .

مي توان نشان داد كه عدد حقيقيL در صورت وجود منحصر به فرد است و لذاL را با نماد زير نشان مي دهيم.

حد توابع سه متغيره و به طور كليn متغيره نيز به همين صورت تعريف مي شود.تمام مطالبي كه در اين بخش براي توابع دو متغيره عنوان مي شود براي توابعn متغيره نيز درست است.

4.2.2قضيه
اگرf(x,y)=x , g(x,y)=y آنگاه
الف)

ب)اگرk(x,y)=k تابعي ثابت باشد آنگاه
Lim k(x,y)=k
(x,y) (a,b)
كه در آنk عددي ثابت است.

4.2.3قضيه
اگر حد تابع دو متغيره يf در نقطه ي(a,b) برابرL باشد آنگاه

اين قضيه بيان مي كند كه اگر lim f(x.y)=L آنگاه حد تابع f وقتي كه نقطه ي (x,y) در مسيرهايy=b ياx=a به تقطه ي ميل كند برابر باL است.
(x,y) (a,b)

4.2.5قضيه
اگر حد تابعf هنگامي(x,y) كه بر روي دو منحني متمايز به نقطه ي(a,b) نزديك مي شود متفاوت باشد آنگاه حد تابعf در اين نقطه وجود ندارد.

4.2.6نتيجه
اگر
آنگاه تابع f در نقطه ي(a,b) حد ندارد.

توجه كنيد در ابتداx را ثابت
فرض كرده را در صورت وجود
محاسبه مي كنيم.سپس حد عبارت به دست آمده را كه تابعي
ازx است وقتي كه x aپيدا مي كنيم.

4.2.8قضيه
اگر حد توابع دو متغيره يf وg در نقطه ي (a,b) اگر حد توابع دو متغيره يf وg در نقطه ي (a,b) وجود داشته باشد آنگاه
1)حد مجموع دو تابع برابر با مجموع حدهاي آنها است، يعني:

2)براي هر عدد ثابتk

3)حد تفاضل دو تابع برابر با حدهاي آنهاست يععني:

4)حد حاصلضرب دو تنبع برابر با حاصلضرب حدهاي آنهاست.يعني:

5) حد خارج قسمت دو تابع برابر با خارج قسمت حدهاي آنهاست مشروط بر اينكه حد تابع مخرج مخالف صفر باشد، يعني:

4.2.10قضيه
اگر و تابع يك متغيرهg درL پيوسته
باشد آنگاه:

4.2.12تعريف
تابع دو متغيره يf را در نقطه ي (a,b) پيوسته مي ناميم اگر شرايط زير بر قرار باشد.
1)تابعf در نقطه ي (a,b) تعريف شده باشد يعني (a,b) fمعين باشد.
2) وجود داشته باشد.

3)
در صورتي كه يكي از اين شرايط بر قرار نباشد تابع f را در نقطه ي (a,b) نا پيوسته مي ناميم.

4.2.14قضيه
اگر توابع دو متغيره ي f وg در نقطه ي (a,b) پيوسته باشند آنگاه تواب (kعددي حقيقي)
(با شرايط g(a,b)=0) نيز در نقطه ي (a,b) پيوسته اند.

4.2.16قضيه
اگر تابع دو متغيره ي f در نقطه ي (a,b) و تابع يك متغيره يg در (a,b) f پيوسته باشند آنگاه تابع مركبgof در نقطه ي (a,b) پيوسته است.

4.3مشتقهاي جزئي

در اين بخش مفهومي نزديك به مفهوم مشتق توابع يك متغيره را در مورد توابع چند متغيره ارائه مي دهيم. از اين مفهوم براي شناخت بهتر توابع چند متغيره استفاده مي كنيم.

4.3.1تعريف
فرض مي كنيمf تابعي از دو متغيرx وy باشد. اگر
وجود داشته باشد مقدار اين حد را مشتق جزيي f نسبت به متغيرx در نقطه ي(x,y) ميناميم.و آن را با نمادهايf (x,y) يا (بخوانيد روند f (x,y)به روندx
)نشان مي دهيم.
x

به همين ترتيب مشتق جزيي تابع f نسبت به متغيرy در نقطه ي(x,y) به صورت
تعريف مي شود.مشروط بر اينكه اين حد وجود داشته باشد.

اگر f (x,y) وجود داشته باشد f تابعي از دو متغيرx وy است اين تابع را به صورت خلاصه نشان ميدهيم.
تابع نيز به همين ترتيب تعريف مي شود.
توابع f و f را مشتقهاي جزيي مرتبه ي اول f مي ناميم.
x
x
x
y

در اينجا نماد ∂ را به جايd برتي تمايز مشتقهاي جزيي از مشتق معمولي به كار مي بريم.
براي محاسبه ي f (x,y) در تابع f (x,y) متغيرy را ثابت تلقي مي كنيم. و ازf نسبت به متغيرx مانند يك تابع يك متغيره مشتق مي گيريم.
x

به همين ترتيب در محاسبه ي f (x,y) متغير را در تابعf(x,y) ثابت در نظر گرفته و ازf نسبت به متغير y مانند يك تابع يك متغيره مشتق مي گيريم.
x

4.3.4مشتقهاي جزيي مرتبه هاي بالاتر
نظير مفهوم مشتقهاي مرتبه هاي بالاتر براي توابع يك متغيره مي توان مشتقهاي جزيي مرتبه هاي بالاتررا براي توابع nمتغيره تعريف كرد. اگرf تابعي از دو متغيرx وy باشد آنگاه f وf نيز توابعي از متغيرهايx وy هستند.پس مي توان مشتقهاي جزيي توابع f وf را تعريف كرد.
x
x
y
y

اين مشتقها را مشتقهاي جزيي مرتبه دوم تابع f مي ناميم. مشتقهاي جزيي مرتبه دوم تابع f عبارتند از:

لازم به تذكر است كه ترتيب نوشتن متغيرهايx وy در f بر
خلاف ترتيب آنها در نماد است.
x
y
∂
2
f
∂
∂
y
x

4.3.6قضيه
فرض مي كنيم f تابعي با متغير هاي x وy باشد. اگر توابع f و f در نقطه ي(a,b) پيوسته باشد آنگاه:
xy
yx

4.4ديفرانسل كل و مشتقگيري ضمني

4.4.1تعريف
فرض مي كنيم f تابعي با متغير هاي x وy باشد. اگر مشتقهاي جزيي مرتبه اولf وجود داشته باشد ديفرانسيل كل تابعf را با نشانdf ميدهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم كه در آنdx وdy به ترتيب ديفرانسيل متغير هاي x وy است.

ديفرانسيل كل تابع بيش از دو متغيره نيز به همين ترتيب تعريف مي شود، اگرu تابعي از چهار متغيرx،y ،z وt باشد آنگاه ديفرانسيل كل تابع برابر است با:

4.4.3نكته
فرض مي كنيم f تابعي با متغير هاي x وy باشد. اگر متغير هاي x وy نيز توابع يك متغيره ي مشتقپذيري از متغير ديگري مانند t باشند آنگاه داريم:

4.4.6تعريف
فرض مي كنيم f تابعي با متغير هاي x وy باشد. اگر مشتقهاي جزيي مرتبه ي اول f بر روي ناحيه اي پيوسته باشد و متغير هاي x وy توابعي ازمتغير ديگري مانند t باشند آنگاه مشتق تابع f نسبت به t را با df/dt نشان مي دهيم و بنابراين تعريف برابر است با
توجه كنيد كه در واقع fتنها تابعي از متغير t است.

4.4.8قاعده زنجيري براي توابع چند متغيره
فرض مي كنيم f تابعي با متغير هاي x وy باشد. اگر متغير هاي x وy توابعي از دو متغيرuوv باشند آنگاه مشتقهاي جزيي مرتبه ي اول f نسبت به متغير هاي uوv برابرند با:

قاعده زنجيري براي توابع بيش از دو متغير كاملا مشابه است.

4.4.10مشتقگيري ضمني
به كمك مفهوم مشتقهاي جزيي مي توان دستور ساده اي براي مشتقگيري از توابع ضمني ( غير صريح) دو متغيره به دست آورد.

فرض مي كنيم معادله يf(x,y)=0 ،متغيرy را به صورت
تابعي ازx به طور ضمني تعريف كند، ∂f/ ∂x , ∂f/ ∂y
وجود داشته باشند و=0 ∂f/ ∂y آنگاه به دست مي آوريم:

4.4.12مشتقهاي جزيي توابع ضمني
فرض مي كنيم تابع دو متغيره يz=f(x,y) در معادله ي F(x,y,z)صدق كند.پس اگر∂F/∂x=0 آنگاه:
∂z/ ∂x=- =-
∂f/ ∂x
∂f/ ∂z
Fx(x,y,z)
Fz(x,y,z)

به همين ترتيب به دست مي آوريم
مشروط بر اينكه ∂F/∂x=0

4.5ماكسيمم و مينيمم توابع دو متغيره

همهنطور كه از مشتقهاي اول و دوم يك تابع يك متغيره براي تعيين ماكسيمم و مينيمم آن استفاده مي كرديم از مشتقهاي جزيي مرتبه ي اول و دوم مي توان براي يافتن ماكسيمم و مينيمم توابع چند متغيره استفاده كنيم.

4.5.1تعريف
فرض مي كنيم f تابعي با متغير هاي x وy باشد. در اين صورت:
الف) f(a,b) مقدار ماكسيمم (مطلق) fمي ناميم. اگر براي هر(x,y) از قلمروf داشته باشيم:
F(x,y)<=f(a,b)

ب) f(a,b) مقدارمينيمم (مطلق) fمي ناميم. اگر براي هر(x,y) از قلمروf داشته باشيم:
F(x,y)>=f(a,b)

4.5.2تعريف
فرض مي كنيم f تابعي با متغير هاي x وy باشد. در اين صورت:
الف) مي گوييمf تابع در(a,b) داراي يك ماكسيمم نسبي است. اگر دايره به مركز (a,b) در قلمروf وجود داشته باشد به طوري كه به ازاي هر(x,y) در درون اين دايره داشته باشيم:
f(x,y)<=f(a,b)

ب) مي گوييمf تابع در(a,b) داراي يك مينيمم نسبي است. اگر دايره به مركز (a,b) در قلمروf وجود داشته باشد به طوري كه به ازاي هر(x,y) در درون اين دايره داشته باشيم:
f(x,y)>=f(a,b)

4.5.4قضيه
فرض مي كنيم تابع دو متغيره fدر(a,b) يك ماكسيمم يا مينيمم نسبي دارد.اگر مشتقهاي جزيي مرتبه ي اولf در (a,b) موجود باشند آنگاه:
Fx(a,b)=0
Fy(a,b)=0

از اين قضيه نتيجه مي شود كه اگر تابع fدر(a,b) يك ماكسيمم يا مينيمم نسبي داشته باشد آنگاه (a,b) يك جواب دستگاه دو مجهولي زير است:

هر جواب اين دستگاه را (نظير توابع يك متغيره ) يك نقطه ي بحراني تابع f ميناميم.توجه كنيد كه نقطه ي (c,d) ممكن است يك نقطه ي بحراني f باشد ولي تابع fدر اين نقطه ماكسيمم و مينيمم نسبي داشته باشد.

اگر Fy(a,b) Fx(a,b)= ولي تابع F در((a,b ماكسيمم يا مينيمم نسبي نداشته باشد مي گوييم تابع F در ((a,b داراي يك نقطه ي زين اسبي است.

معمولا با استفاده از تعريف تشخيص اينكه يك نقطه ي بحراني تابع دو دو متغيره ي F ماكسيمم است يا مينيمم مشكل است .اما به كمك مشتقهاي جزيي مرتبه ي دوم توابع يك يك متغيره قادر به اين امر هستيم.

4.5.8آزمون مشتق دوم
فرض مي كنيم f تابعي با متغير هاي x وy باشد.و Fy(a,b)=0 Fx(a,b)= همچنين فرض مي كنيم مشتقهاي جزيي F درون دايره اي به مركز((a,b پبوسته باشند و

در اين صورت
الف) اگر(a,b)>0 ∆ وFxx(a,b)<0 آنگاه F در(a,b)ماكسيمم نسبي دارد.
ب) اگر(a,b)>0 ∆ وFxx(a,b)>0 آنگاه F در(a,b)مينيمم نسبي دارد.

پ) اگر(a,b)>0 ∆ آنگاه F در(a,b)يك نقطه ي زين اسبي دارد . به عبارت ديگر ماكسيمم و مينيمم ندارد.
ت) اگر(a,b)=0 ∆ از اين آزمون نتيجه اي به دست نمي آيد.

دقت كنيد كه اگر(a,b)>0 ∆ آنگاه حاصلضرب fxx(a,b)fyy(a,b) مثبت است.پس fxx(a,b)وfyy(a,b) هم علامت مي باشند .در نتيجه در بندهاي الف و ب آ زمون مشتق دوم ميتوان fyy(a,b) را جايگزين fxx(a,b) نمود.

4.6ماكسيمم و مينيمم توابع نسبت به شرايط داده شده

در اكثر مسايل مديريت و اقتصاد تعيين ماكسيمم و مينيمم يك تابع چند متغيره با توجه به يك يا چند شرط صورت مي گيرد.

براي مثال فرض كنيد هدف يك مصرف كننده به حداكثر رسانيدن مطلوب در مصرف دو كالاي 1و2 است. فرض كنيد قيمت اين دو كالا به ترتيب برابر باp1 وp2 ميزان مصرف او از اين دو كالا به ترتيب برابر با x1وx2 باشد.اما اين مصرف كننده محدوديتهايي نيز دارد.

يكي از محدوديتها ميزان درآمد او است. پس مطلوب است اين مصرف كننده تابغي از ميزان استفاده او از اين دو كالا بوده و ميزان مخارج مصرفي او از اين دو كالا بايد با ميزان درآمد او نيز برابر باشد.به بيان ديگر ميتوان گفت كه اين مصرف كننده ميخواهد مطلوبيت خود را با ت.جه به محدوديت درآمد به حد اكثر برساند.

پس بايد ماكسيمم تابع
U=f(x1,x2)
را نسبت به شرط (محدوديت)
P1x1+p2x2=y
پيدا كنيم كه در آن U=f(x1,x2) تابع مطلوب است.

به دو روش مي توان اين كار را انجام داد. يكي به روش جايگزيني و ديگري به روش لاگرانژ .اين دو روش را در زير معرفي مي كنيم.

4.6.1روش جايگزيني
يكي از روشهاي به دست آوردت ماكسيمم و مينيمم توابع نسبت به شرايط داده شده از طريق جايگزين كردن تلبع محدوديت ( شرايط داده شده) در تابع هدف است. بدين ترتيب مسئله تبديل به مسئله ي ماكسيمم يا مينيمم كردن يك تابع بدون محدوديت ميشود.

4.6.3روش لاگرانژ
ميخواهيم ماكسيمم يا مينيمم تابع دو متغيره يf(x,y) را با محدوديتg(x,y)=0 بيابيم.متغير جديدλ موسوم به ضريب لاگرانژ را در نظر مي گيريم با استفاده از متغير λ تابع جديدي به نام تابع لاگرانژ را به صورت زير تعريف ميكنيم.
F(x,y, λ)=f(x,y)- λg(x,y)

پس اگر fدر (a,b)ماكسيمم يا مينيمم داشته باشيم آنگاه 0λ= λ وجود دارد به طوري كه(a,b, λ) يك جواب دستگاه سه معادله سه مجهولي زير است.

4.6.5شرط كافي براي وجود ماكسيمم و مينيمم توابع نسبت به شرايط داده شده
فرض مي كنيم تابع دو متغيره يf(x,y) تحت محدوديتg(x,y)=0 داده شده باشد و) λ F(x,y, تابع لاگرانژ متناظر باشد . ثابت ميشود كه شرط كافي براي وجود

الف) ماكسيمم اين است كه

ب) مينيمم اين است كه

4.6.6نكته
روش لاگرانژ را ميتوان براي تابعn متغيرهf(x1,x2,…,xn) با تابع محدوديت gi(x1,x2,…,xn) i=1,2,…,nكه در آن تعميم داد.

در اين صورت تابع لاگرانژ عبارتند از
از مساوي صفر قرار دادن مشتقهاي جزيي تابع لاگرانژ دستگاهي شاملn+k معادله ي n+k مجهولي به دست مي آيد.

فصل پنجم:معادلات ديفرانسيل

حل برخي از مسايل در مديريت ئ اقتصاد منجر به بررسي معادله اي بين يك تابع مجهول و مشتقهاي آن مي شود.چنين معادله اي را يك معادله ي ديفرانسيل مي ناميم.در اين فصل با معرفي چند نوع معادله ي ديفرانسيل ساده روش حل آنها را مطالعه مي كنيم.

5.1آشنايي با معادلات ديفرانسيل

5.1.1تعريف
فرض كنيدy تابعي ازx باشد هر معادله اي به صورتF(x,y,y,…,y ) را كهF در آن تابعي ازn+2 متغيرx ، y و n مشتق اولy نسبت بهx باشد يك معادله ي ديفرانسيل معمولي مرتبه ي n ام مي ناميم.
(n)

توجه كنيد منظورy از مشتق n ام y نسبت بهx است و مرتبه ي يك معادله ي ديفرانسيل برابر با مرتبه ي بالاترين مشتق موجود در معادله است.
(n)

5.1.2تعريف
تابع y=f(x) را يك جواب معادله ي ديفرانسيل
F(x,y,y,…,y )=0
در فاصله يI مي ناميم.در صورتي كه به ازاي هرx متعلق بهI تابع y=f(x) و مشتق هاي آن در معادله صدق كنند.
(n)

مجموعه ي تمام جوابهاي معادله را جواب عمومي معادله مي ناميم.
منظور از حل يك معادله ي ديفرانسيل به دست آوردن جواب عمومي آن است.

5.1.4تعريف
معادله ي ديفرانسيل مرتبه ي ام
با شرايط اوليه
را كه در آن ها اعداد معيني هستند يك مسئله با مقادير اوليه مي ناميم.

توجه كنيد كه براي معادله ي ديفرانسيل مرتبه ي nامn شرط اوليه وجود دارد .اين شرايط مقادير تابع مجهول و(n-1) مشتق اول آن را در نقطه ي x0معين مي كنند.مي توان نشان داد كه با وضع محدوديتهايي برF يك مسئله با مقادير اوليه داراي يك مجواب منحصر به فرد است. اين جواب را جواب خصوصي مسئاله مي ناميم.

5.1.7تعريف
يك معادله ي ديفرانسيل با مشتقات جزيي معادله ايست كه شانل يك تابع مجهول چند متغيره (بيش از يك متغير) همرام با مشتقات جزيي آن باشد.

5.2معادلات ديفرانسيل جدايي پذير

در اين بخش روش حل معادلات ديفرانسيلي را بررسي مي كنيم كه مي توان متغيرهاي آنها را از يكديگر جدا كرد.

5.2.1تعريف
معادله ي ديفرانسيل مرتبه ي اول p(x)dx+q(y)dy=0 را كه در آنp وq دو تابع حقيقي به ترتيب در فاصله هايI1 وI2 پيوسته اند يك معادله ي ديفرانسيل جدايي پذير مي ناميم.