Слайд 2
![Преподаватель Дмитрий Игоревич Балашов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-1.jpg)
Преподаватель
Дмитрий
Игоревич
Балашов
Слайд 3
![Дисциплина состоит из 6 модулей: Численное решение нелинейных уравнений. Численное](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-2.jpg)
Дисциплина состоит из 6 модулей:
Численное решение нелинейных уравнений.
Численное решение СЛАУ.
Численное решение
СНУ.
Численное интегрирование.
Интерполяция и аппроксимация функций.
Численное решение ОДУ.
Форма отчетности – ЗАЧЕТ
Слайд 4
![Численное решение нелинейных уравнений](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-3.jpg)
Численное решение
нелинейных уравнений
Слайд 5
![Общий вид нелинейного уравнения f(x)=0 где x – аргумент, f(x) – функционал одной переменной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-4.jpg)
Общий вид нелинейного уравнения
f(x)=0
где
x – аргумент,
f(x) – функционал
одной переменной
Слайд 6
![Существуют различные методы решения нелинейных уравнений Наиболее распространенный: аналитический метод](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-5.jpg)
Существуют различные методы решения нелинейных уравнений
Наиболее распространенный:
аналитический метод
Слайд 7
![Трансцендентные уравнения Пример: Или после преобразования:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-6.jpg)
Трансцендентные уравнения
Пример:
Или после преобразования:
Слайд 8
![Для решения таких уравнений можно использовать графический метод:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-7.jpg)
Для решения таких уравнений можно использовать графический метод:
Слайд 9
![Недостаток графического метода: Низкая точность получаемого результата. Также для решения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-8.jpg)
Недостаток графического метода:
Низкая точность получаемого результата.
Также для решения подобного рода уравнений
можно использовать численные методы
Слайд 10
![Теорема о существовании корней уравнения f(x)=0 Если на концах интервала](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-9.jpg)
Теорема
о существовании корней уравнения f(x)=0
Если на концах интервала [a, b] функция
f(x) имеет разные знаки, то это значит, что в интервале [a, b] уравнение f(x)=0 имеет хотя бы один корень.
Слайд 11
![Графическая интерпретация теоремы о существовании корней](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-10.jpg)
Графическая интерпретация теоремы о существовании корней
Слайд 12
![Обратная теорема не верна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-11.jpg)
Обратная теорема не верна
Слайд 13
![Большинство численных методов основаны на этой теореме В дальнейшем примем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-12.jpg)
Большинство численных методов основаны на этой теореме
В дальнейшем примем допущение о
том, что на интервале [a, b] имеется только один корень уравнения f(x)=0
Слайд 14
![Метод половинного деления (метод дихотомии, метод бисекции) Исходные данные для реализации метода: f(x)=0 [a, b] E](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-13.jpg)
Метод половинного деления
(метод дихотомии,
метод бисекции)
Исходные данные для реализации метода:
f(x)=0
[a, b]
E
Слайд 15
![Алгоритм метода: Отрезок ab делится пополам точкой с. Рассчитываются значения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-14.jpg)
Алгоритм метода:
Отрезок ab делится пополам точкой с.
Рассчитываются значения функции f(x) в
точках a, b и c.
Один из отрезков ac или cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывают и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.
Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|В этом случае за корень уравнения можно принять середину полученного отрезка
x=(a+b)/2
Слайд 16
![Графическая интерпретация метода:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-15.jpg)
Графическая интерпретация метода:
Слайд 17
![Блок-схема метода половинного деления](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-16.jpg)
Блок-схема метода половинного деления
Слайд 18
![ДОСТОИНСТВА метода Простота метода Устойчивость метода НЕДОСТАТОК метода Низкая скорость сходимости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-17.jpg)
ДОСТОИНСТВА метода
Простота метода
Устойчивость метода
НЕДОСТАТОК метода
Низкая скорость сходимости
Слайд 19
![Метод хорд Исходные данные для реализации метода: f(x)=0 [a, b] E](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-18.jpg)
Метод хорд
Исходные данные для реализации метода:
f(x)=0
[a, b]
E
Слайд 20
![Алгоритм метода: Отрезок ab делится на 2 отрезка точкой с.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-19.jpg)
Алгоритм метода:
Отрезок ab делится на 2 отрезка точкой с. Точка с
является точкой пересечения оси абсцисс ОХ с хордой, соединяющей точки f(a) и f(b).
Рассчитываются значения функции f(x) в точках
a, b и c.
Один из отрезков ac или cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывается и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.
Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|В этом случае за корень уравнения можно принять середину полученного отрезка
x=(a+b)/2
Слайд 21
![Графическая интерпретация метода:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-20.jpg)
Графическая интерпретация метода:
Слайд 22
![Блок-схема метода хорд](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-21.jpg)
Слайд 23
![ДОСТОИНСТВА метода Простота метода Устойчивость метода Более высокая скорость сходимости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-22.jpg)
ДОСТОИНСТВА метода
Простота метода
Устойчивость метода
Более высокая скорость сходимости
НЕДОСТАТОК метода
Для некоторых частных случаев
метод не применим
Слайд 24
![Метод касательных (метод Ньютона) Исходные данные для реализации метода: f(x)=0 f ’(x) x0 E](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-23.jpg)
Метод касательных
(метод Ньютона)
Исходные данные для реализации метода:
f(x)=0
f ’(x)
x0
E
Слайд 25
![Алгоритм метода: В точке x0 к графику функции f(x) проводится](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-24.jpg)
Алгоритм метода:
В точке x0 к графику функции f(x) проводится касательная.
Находится
более точное значение x – это точка пересечения касательной с осью абсцисс ОХ.
Таким образом каждая последующая точка будет лежать ближе к истинному решению, чем предыдущая.
Последующая точка рассчитывается через предыдущую по формуле
xi+1=xi-f(xi)/f ’(xi)
Процесс повторяется до тех пор, пока разность между последующей и предыдущей точкой не станет меньше величины точности Е
|xi+1-xi|В этом случае за корень уравнения можно принять последнюю найденную точку xi.
Слайд 26
![Графическая интерпретация метода:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-25.jpg)
Графическая интерпретация метода:
Слайд 27
![Блок-схема метода касательных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-26.jpg)
Блок-схема метода касательных
Слайд 28
![ДОСТОИНСТВО метода Высокая скорость сходимости НЕДОСТАТКИ метода Необходимость задавать производную](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-27.jpg)
ДОСТОИНСТВО метода
Высокая скорость сходимости
НЕДОСТАТКИ метода
Необходимость задавать производную функции в аналитическом виде
Метод
является неустойчивым
Слайд 29
![Метод секущих Метод секущих является модификацией метода касательных Исходные данные для реализации метода: f(x) x0 E](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-28.jpg)
Метод секущих
Метод секущих является модификацией метода касательных
Исходные данные для реализации метода:
f(x)
x0
E
Слайд 30
![Алгоритм метода: Алгоритм аналогичен предыдущему методу, но производная функции вычисляется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/314387/slide-29.jpg)
Алгоритм метода:
Алгоритм аналогичен предыдущему методу, но производная функции вычисляется по приближенной
формуле:
где Δx – малая величина. Как правило за эту величину принимают величину точности Е: