Слайд 2Преподаватель
Дмитрий
Игоревич
Балашов
Слайд 3Дисциплина состоит из 6 модулей:
Численное решение нелинейных уравнений.
Численное решение СЛАУ.
Численное решение СНУ.
Численное интегрирование.
Интерполяция
и аппроксимация функций.
Численное решение ОДУ.
Форма отчетности – ЗАЧЕТ
Слайд 4Численное решение
нелинейных уравнений
Слайд 5Общий вид нелинейного уравнения
f(x)=0
где
x – аргумент,
f(x) – функционал одной переменной
Слайд 6Существуют различные методы решения нелинейных уравнений
Наиболее распространенный:
аналитический метод
Слайд 7Трансцендентные уравнения
Пример:
Или после преобразования:
Слайд 8Для решения таких уравнений можно использовать графический метод:
Слайд 9Недостаток графического метода:
Низкая точность получаемого результата.
Также для решения подобного рода уравнений можно использовать
численные методы
Слайд 10Теорема
о существовании корней уравнения f(x)=0
Если на концах интервала [a, b] функция f(x) имеет
разные знаки, то это значит, что в интервале [a, b] уравнение f(x)=0 имеет хотя бы один корень.
Слайд 11Графическая интерпретация теоремы о существовании корней
Слайд 13Большинство численных методов основаны на этой теореме
В дальнейшем примем допущение о том, что
на интервале [a, b] имеется только один корень уравнения f(x)=0
Слайд 14Метод половинного деления
(метод дихотомии,
метод бисекции)
Исходные данные для реализации метода:
f(x)=0
[a, b]
E
Слайд 15Алгоритм метода:
Отрезок ab делится пополам точкой с.
Рассчитываются значения функции f(x) в точках a,
b и c.
Один из отрезков ac или cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывают и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.
Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|В этом случае за корень уравнения можно принять середину полученного отрезка
x=(a+b)/2
Слайд 16Графическая интерпретация метода:
Слайд 17Блок-схема метода половинного деления
Слайд 18ДОСТОИНСТВА метода
Простота метода
Устойчивость метода
НЕДОСТАТОК метода
Низкая скорость сходимости
Слайд 19Метод хорд
Исходные данные для реализации метода:
f(x)=0
[a, b]
E
Слайд 20Алгоритм метода:
Отрезок ab делится на 2 отрезка точкой с. Точка с является точкой
пересечения оси абсцисс ОХ с хордой, соединяющей точки f(a) и f(b).
Рассчитываются значения функции f(x) в точках
a, b и c.
Один из отрезков ac или cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывается и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.
Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|В этом случае за корень уравнения можно принять середину полученного отрезка
x=(a+b)/2
Слайд 21Графическая интерпретация метода:
Слайд 23ДОСТОИНСТВА метода
Простота метода
Устойчивость метода
Более высокая скорость сходимости
НЕДОСТАТОК метода
Для некоторых частных случаев метод не
применим
Слайд 24Метод касательных
(метод Ньютона)
Исходные данные для реализации метода:
f(x)=0
f ’(x)
x0
E
Слайд 25Алгоритм метода:
В точке x0 к графику функции f(x) проводится касательная.
Находится более точное
значение x – это точка пересечения касательной с осью абсцисс ОХ.
Таким образом каждая последующая точка будет лежать ближе к истинному решению, чем предыдущая.
Последующая точка рассчитывается через предыдущую по формуле
xi+1=xi-f(xi)/f ’(xi)
Процесс повторяется до тех пор, пока разность между последующей и предыдущей точкой не станет меньше величины точности Е
|xi+1-xi|В этом случае за корень уравнения можно принять последнюю найденную точку xi.
Слайд 26Графическая интерпретация метода:
Слайд 28ДОСТОИНСТВО метода
Высокая скорость сходимости
НЕДОСТАТКИ метода
Необходимость задавать производную функции в аналитическом виде
Метод является неустойчивым
Слайд 29Метод секущих
Метод секущих является модификацией метода касательных
Исходные данные для реализации метода:
f(x)
x0
E
Слайд 30Алгоритм метода:
Алгоритм аналогичен предыдущему методу, но производная функции вычисляется по приближенной формуле:
где Δx
– малая величина. Как правило за эту величину принимают величину точности Е: