Слайд 2
![Тема 3. Ряды §1. Числовые ряды: основные понятия Рассмотрим числовую](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-1.jpg)
Тема 3. Ряды
§1. Числовые ряды: основные понятия
Рассмотрим числовую последовательность
а1, а2,…,
аn,…={an}, где an − действительные или комплексные числа.
Выражение вида
называется числовым рядом,
а1, а2, а3, … − члены ряда,
аn − общий член ряда.
Слайд 3
![Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-2.jpg)
Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и
обозначается Sn, т.е.
Sn= а1+а2+…+аn.
Если последовательность частичных сумм ряда
имеет конечный предел S при n→∞, то ряд называется сходящимся, число называют суммой ряда.
Если не существует или то говорят, что ряд расходится. Такой ряд суммы не имеет.
Слайд 4
![Пример 1. Рассмотрим ряд Исследуем ряд на сходимость по определению.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-3.jpg)
Пример 1. Рассмотрим ряд
Исследуем ряд на сходимость по определению.
Если q≠1, то
члены ряда образуют геометрическую прогрессию, поэтому сумма первых n членов находится по формуле:
Если |q|<1, то qn→0 при n→∞,
следовательно, ряд сходится и его сумма S=a/(1−q).
2. Если |q|>1, то qn→∞ при n→∞, поэтому
и ряд расходится.
Слайд 5
![3. Если q = 1, то ряд примет вид: а](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-4.jpg)
3. Если q = 1, то ряд примет вид: а +
а + а +…
В этом случае Sn= nа, ряд расходится.
4. Если q = −1, то ряд примет вид: а − а + а −…
В этом случае Sn = 0 при четном n и Sn = а при нечетном n, поэтому не существует и ряд расходится.
Таким образом, ряд сходится при |q| < 1 и расходится при |q| ≥ 1.
Слайд 6
![Пример 2. Рассмотрим ряд Исследуем ряд на сходимость по определению.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-5.jpg)
Пример 2. Рассмотрим ряд
Исследуем ряд на сходимость по определению.
Сначала преобразуем общий
член ряда
⇒
Таким образом,
Слайд 7
![Составим n-ую частичную сумму ряда:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-6.jpg)
Составим n-ую частичную сумму ряда:
Слайд 8
![Таким образом, Теперь вычисляем предел частичной суммы ряда 0 0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-7.jpg)
Таким образом,
Теперь вычисляем предел частичной суммы ряда
0 0
Предел равен конечному числу,
следовательно, данный ряд сходится по определению и его сумма S = 3/4.
Слайд 9
![Свойства числовых рядов 1. Если ряд сходится и его сумма](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-8.jpg)
Свойства числовых рядов
1. Если ряд сходится и его сумма равна S,
то ряд
также сходится и
его сумма равна с·S.
2. Если ряды сходятся и их суммы соответственно равны Sа и Sb, то сходятся ряды
и их суммы соответственно равны Sа ± Sb.
Слайд 10
![3. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-9.jpg)
3. Если к ряду прибавить (или отбросить)
конечное число членов, то исходный
ряд и полученный ряд сходятся или расходятся одновременно.
Ряд называется n-м
остатком ряда. Он получается из ряда путем отбрасывания n первых его членов.
Из 3 свойства следует, что если исходный ряд сходится, то при n→∞ его остаток стремится к нулю.
Слайд 11
![§2. Признаки сходимости числовых рядов Установить сходимость или расходимость ряда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-10.jpg)
§2. Признаки сходимости числовых рядов
Установить сходимость или расходимость ряда по определению
(путем вычисления ) во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда используют специальные признаки сходимости.
Слайд 12
![Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-11.jpg)
Теорема 1 (необходимый признак сходимости).
Если ряд сходится, то предел его
общего члена при
n → ∞ равен нулю.
Доказательство.
Пусть ряд сходится.
Тогда, учитывая, что an = Sn−Sn −1, получим
Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если предел n-го члена ряда отличен от нуля или
не существует, то ряд расходится.
Слайд 13
![Замечание. Теорема 1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-12.jpg)
Замечание. Теорема 1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное,
т.е. если
то из этого не следует, что ряд сходится.
В качестве примера (1) рассмотрим ряд
называемый гармоническим.
Здесь
Однако этот ряд является расходящимся (докажем это).
Запишем сумму первых 2n и n членов ряда:
Слайд 14
![Найдем разность в которой каждое слагаемое заменим наименьшим, равным 1/(2n).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-13.jpg)
Найдем разность в которой каждое слагаемое заменим наименьшим, равным 1/(2n).
Получим
Теперь
предположим, что ряд сходится, тогда
Переходя к пределу в неравенстве, получим, что
S − S > 1/2, или 0 > 1/2.
Пришли к противоречию, следовательно предположение о сходимости ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.
Слайд 15
![Пример 2. Записать общий член ряда указать краткую запись для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-14.jpg)
Пример 2. Записать общий член ряда
указать краткую запись
для ряда
и исследовать его на сходимость.
Решение.
На основании первых трех элементов определяем
закономерность и видим, что
Поэтому в краткой записи ряд имеет вид:
Вычислим предел общего члена ряда:
Слайд 16
![Общий член ряда не стремится к 0, следовательно, по достаточному](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-15.jpg)
Общий член ряда не стремится к 0, следовательно, по достаточному условию
расходимости, данный ряд расходится.
Замечания
1. Предел вычислен на основании второго замечательного предела.
2. Достаточное условие расходимости еще называют критерием расходимости. Поэтому при решении задач ответ можно формулировать в виде: ряд расходится по критерию расходимости.
Слайд 17
![Достаточные признаки сходимости Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости для знакоположительных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-16.jpg)
Достаточные признаки сходимости
Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости для знакоположительных рядов, т.е.
рядов с неотрицательными членами
(ряд с отрицательными членами превращается в знакоположительный путем умножения на (−1), что, согласно свойствам рядов, не влияет на сходимость ряда).
Слайд 18
![Теорема 2 (признак сравнения). Пусть даны два ряда . Если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-17.jpg)
Теорема 2 (признак сравнения).
Пусть даны два ряда .
Если для
всех n выполняется неравенство an ≤ bn,
то из сходимости ряда следует сходимость ряда из расходимости ряда следует расходимость ряда
(Суть признака: из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда, а из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда.)
Слайд 19
![Пример 3. Исследовать сходимость ряда Решение. Очевидно, что Поэтому ряд](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-18.jpg)
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
Решение.
Очевидно, что Поэтому ряд может как
сходиться, так и расходиться.
Рассмотрим гармонический ряд который расходится (см. пример 1).
Обозначим и сравним an и bn:
В этом случае теорема 2 не применима, т.к. из расходимости большего ряда не следует расходимость меньшего ряда. И нужно искать другой ряд для сравнения.
Слайд 20
![Рассмотрим степенной ряд который сходится (см. §1, пример 1). Обозначим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-19.jpg)
Рассмотрим степенной ряд который сходится (см. §1, пример 1).
Обозначим и сравним
an и bn:
Следовательно, по признаку сравнения ряд
тоже сходится.
Слайд 21
![Теорема 3 (предельный признак сравнения). Если – ряды с положительными](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-20.jpg)
Теорема 3 (предельный признак сравнения).
Если – ряды с положительными членами
и существует конечный, отличный от нуля предел то ряды одновременно сходятся или расходятся.
Замечание. Здесь важно, что k ≠ 0 и k ≠ ∞.
Если при вычислении предела возникает одно из этих значений, значит, нужно либо подбирать другой ряд для сравнения, либо использовать другой признак сходимости.
Слайд 22
![Пример 4. Исследовать сходимость ряда Решение. Очевидно, что и при](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-21.jpg)
Пример 4. Исследовать сходимость ряда
Решение.
Очевидно, что и при n→∞.
Поэтому для сравнения возьмем
гармонический ряд
и используем предельный признак сравнения:
Значение k конечное и не нулевое, поэтому, по предельному признаку сравнения, оба ряда ведут себя одинаково.
Т.к. гармонический ряд расходится, то и данный ряд расходится.
Слайд 23
![Теорема 4 (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-22.jpg)
Теорема 4 (признак Даламбера).
Пусть для ряда с положительными членами существует
предел
Тогда ряд сходится при k < 1 и расходится при k > 1.
Замечание
При k = 1 признак Даламбера ответа о сходимости не дает. Нужно применить другой признак.
Слайд 24
![Пример 5. Исследовать сходимость ряда Решение. Здесь сложно оценить предел](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-23.jpg)
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение.
Здесь сложно оценить предел общего члена ряда,
поэтому используем достаточный признак сходимости.
По условию тогда
Воспользуемся признаком Даламбера:
е 1
Следовательно, по признаку Даламбера, ряд расходится.
Слайд 25
![Теорема 5 (радикальный признак Коши). Пусть для ряда с положительными](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-24.jpg)
Теорема 5 (радикальный признак Коши).
Пусть для ряда с положительными членами
существует предел
Тогда ряд сходится при k < 1 и расходится при k > 1.
Замечание
Как и в случае признака Даламбера, данный признак при k = 1 ответа о сходимости не дает.
Слайд 26
![Пример 6. Исследовать сходимость ряда Решение. Исследуем по радикальному признаку](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-25.jpg)
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
Решение.
Исследуем по радикальному признаку Коши:
По радикальному признаку
Коши, данный ряд сходится.
Слайд 27
![Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть члены знакоположительного ряда являются](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-26.jpg)
Теорема 6 (интегральный признак Коши).
Пусть члены знакоположительного ряда
являются значениями
некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1; +∞) функции f(x) так, что a1 = f(1), a2 = f(2),…, an = f(n),...
Тогда
если сходится, то сходится и ряд
2) если расходится, то и ряд расходится.
Слайд 28
![Пример 7. Доказать, что ряд сходится при α > 1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-27.jpg)
Пример 7. Доказать, что ряд сходится при
α > 1 и
расходится при α ≤ 1.
Доказательство.
Воспользуемся интегральным признаком Коши.
Составим соответствующий несобственный интеграл I
рода и вычислим его.
Если α ≠ 1, то
Таким образом, интеграл сходится при α > 1 и расходится при α < 1.
Слайд 29
![Рассмотрим случай когда α = 1: интеграл расходится. Согласно интегральному](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/299444/slide-28.jpg)
Рассмотрим случай когда α = 1:
интеграл расходится.
Согласно интегральному признаку Коши, из
сходимости интеграла следует сходимость ряда, а из расходимости – расходимость ряда.
Поэтому ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.
Замечание.
Ряд вида называют обобщенным гармоническим
рядом и часто используют в признаках сравнения.