Слайд 2
![Дисперсионный анализ Дисперсионный анализ – это статистический метод анализа результатов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-1.jpg)
Дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ – это статистический метод анализа результатов наблюдений,
зависящих от различных, одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценка их влияния. Дисперсионный анализ находит применение в различных областях науки и техники.
Слайд 3
![Известно, что многие признаки и свойства живых организмов находятся под](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-2.jpg)
Известно, что многие признаки и свойства живых организмов находятся под
влиянием различных факторов: наследственности, условий среды, внутренних факторов организма, искусственного отбора. Степень и направленность воздействия различных факторов неодинаковы, поэтому важно определить долю влияния отдельных факторов на изменчивость признака. Для решения подобной задачи используют метод дисперсионного анализа, разработанный Р.Фишером.
Сущность дисперсионного анализа состоит в установлении роли отдельных факторов в изменчивости признака.
В зависимости от количества изучаемых факторов различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ. Рассмотрим подробнее метод однофакторного дисперсионного анализа.
Слайд 4
![Однофакторный дисперсионный анализ Предположим, что имеется Ƙ выборок с объемами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-3.jpg)
Однофакторный дисперсионный анализ
Предположим, что имеется Ƙ выборок с объемами
n1 ,
n2,….,nk N=n1+n2+…+nk , и наблюдения можно представить в виде
где
- номер наблюдения в выборке; - номер выборки;
- групповые математические ожидания;
- случайные ошибки с , о которых предполагается, что они независимы и одинаково расположены.
Слайд 5
![Подобная ситуация возникает, когда существует некий фактор, принимающий различных значений](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-4.jpg)
Подобная ситуация возникает, когда существует некий фактор, принимающий различных значений (называемых
уровнями), и каждая группа объектов, чьи признаки мы примеряем, подвергается воздействию определенного уровня этого фактора. Методы математической статистики, изучающие воздействие одного фактора на объекты и их признаки, называют в совокупности однофакторным анализом.
Предполагается, что ошибки нормально распределены:
Тогда можно изучать влияние фактора, вычисляя дисперсии некоторых величин. Совокупность этих методов называют однофакторным дисперсионным анализом.
Слайд 6
![Основной гипотезой, нуждающейся в проверке, является гипотеза о равенстве групповых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-5.jpg)
Основной гипотезой, нуждающейся в проверке, является гипотеза о равенстве групповых средних
. Иными словами, проверяют гипотезу о том, что фактор вообще не влияет на наблюдения. В случае нормальных ошибок ее можно проверить, вычислив две разные оценки дисперсии.
Рассмотрим группу экспериментальных животных, подвергнутых ультрафиолетовому облучению. В процессе эксперимента измерялась температура тела животных. Результаты измерений были занесены в таблицу:
Слайд 7
![Температура тела животных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-6.jpg)
Температура тела животных
Слайд 8
![Физический фактор А (ультрафиолетовое излучение) имеет постоянных уровней (3 различных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-7.jpg)
Физический фактор А (ультрафиолетовое излучение) имеет постоянных уровней (3 различных
мощности облучения). На всех уровнях распределения случайной величины Х (температуры тела животного) предполагается нормальным, а дисперсии одинаковыми, хотя и неизвестными.
В данном эксперименте число проведенных наблюдений при действии каждого из уровней фактора одинаково.
Слайд 9
![Все значения величины Х, наблюдаемые при каждом фиксированном уровне фактора](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-8.jpg)
Все значения величины Х, наблюдаемые при каждом фиксированном уровне фактора Аj,
составляют группу, и в последней строке таблицы представлены соответствующие выборочные групповые средние, вычисленные по формуле
Здесь n – число испытаний, – номер столбца, - номер строки, в которой расположено данное значение случайной величины. Общая средняя арифметическая всех nm наблюдений находится как
Слайд 10
![Факторная сумма Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-9.jpg)
Факторная сумма
Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней ,
которая характеризует рассеивание «между группами» (т.е. рассеивание за счет исследуемого фактора):
Слайд 11
![Остаточная сумма Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-10.jpg)
Остаточная сумма
Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой
средней , которая характеризует рассеивание «внутри групп» (за счет случайных причин):
Слайд 12
![Общая сумма Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней : Можно доказать следующее равенство:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-11.jpg)
Общая сумма
Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней :
Можно
доказать следующее равенство:
Слайд 13
![С помощью , , производится оценка общей, факторной и остаточной дисперсий:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-12.jpg)
С помощью , , производится оценка общей, факторной и остаточной дисперсий:
Слайд 14
![В основе однофакторного дисперсионного анализа лежит тесная связь между различием](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-13.jpg)
В основе однофакторного дисперсионного анализа лежит тесная связь между различием в
групповых средних и соотношением между двумя видами дисперсий – факторной, которая характеризует влияние фактора А на величину Х, и остаточной, которая характеризует влияние случайных причин. Сравнивая факторную дисперсию с остаточной по величине их отношения судят, насколько сильно проявляется влияние фактора.
Слайд 15
![Показатель критерия Фишера Для сравнения двух дисперсий используют показатель критерия](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-14.jpg)
Показатель критерия Фишера
Для сравнения двух дисперсий используют показатель критерия Фишера
При
этом при заданном уровне значимости проверяют нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсии (изучаемый фактор не вызывает изменчивости признака) при конкурирующей гипотезе об их неравенстве (изучаемый фактор вызывает изменчивость признака).
Слайд 16
![По таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора при уровне значимости, равном](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-15.jpg)
По таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора при уровне значимости, равном половине
заданного уровня , находят критическое значение . Здесь
Если , нулевую гипотезу считают согласующейся с результатами наблюдений. Если , то эту гипотезу отвергают в пользу конкурирующей.
Слайд 17
![Замечание. Если окажется, что , следует сделать вывод об отсутствии](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-16.jpg)
Замечание. Если окажется, что , следует сделать вывод об отсутствии влияния
фактора А на Х.
Если проверка покажет значимость различий между и ,следует сделать вывод о существенном влиянии фактора А на Х.
Слайд 18
![Пример Имеются данные о настриге шерсти овец в зависимости от](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-17.jpg)
Пример
Имеются данные о настриге шерсти овец в зависимости от их живой
массы (табл. 2).
Требуется определить достоверность разницы в настриге шерсти овец в зависимости от их живой массы с уровнем вероятности суждения 0,05.
Для расчета показателей вариации настриг шерсти овец возведем в квадрат (табл. 3).
Слайд 19
![Таблица 2 Настриг шерсти овец, кг](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-18.jpg)
Таблица 2
Настриг шерсти овец, кг
Слайд 20
![Таблица 3 Квадрат настрига шерсти овец](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-19.jpg)
Таблица 3
Квадрат настрига шерсти овец
Слайд 21
![Показатели вариации будут равны: общая вариация: групповая вариация:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-20.jpg)
Показатели вариации будут равны:
общая вариация:
групповая вариация:
Слайд 22
![Остаточная вариация: Рассчитаем число степеней свободы вариации: общей: групповой: остаточной вариации:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-21.jpg)
Остаточная вариация:
Рассчитаем число степеней свободы вариации:
общей:
групповой:
остаточной вариации:
Слайд 23
![Отсюда дисперсии будут равны: общая: групповая: остаточная: Фактическое значение F-критерия для групповой и остаточной дисперсий:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-22.jpg)
Отсюда дисперсии будут равны:
общая:
групповая:
остаточная:
Фактическое значение F-критерия для групповой и остаточной дисперсий:
Слайд 24
![Табличное значение F-критерия при уровне значимости 0,05, 2 степенях свободы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-23.jpg)
Табличное значение F-критерия при уровне значимости 0,05, 2 степенях свободы для
групповой дисперсии и 17 степенях свободы для остаточной дисперсии равно 3,59 (таблица «Значение F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05».
Результаты дисперсионного анализа представлены в табл.4.
Слайд 25
![Однофакторный дисперсионный анализ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/22628/slide-24.jpg)
Однофакторный дисперсионный анализ