Слайд 2Требуется найти решение ДУ n-го порядка
удовлетворяющего заданным начальным условиям:
Лекция 12
ДУ высших
порядков.
Слайд 4Частное решение ДУ (решение задачи Коши) может быть найдено из общего решения по
заданным начальным условиям, из которых получают систему уравнений для определения постоянных
Слайд 5Решение задачи Коши ДУ n-го порядка имеет вид:
Слайд 6 (правая часть зависит только от х)
Общее решение получается путем n-кратного интегрирования:
Слайд 7Пример.
удовлетворяющее начальным условиям:
Слайд 10Подстановка понижает порядок
уравнения на k :
- общее решение 1),
то
- ДУ типа
I.
Слайд 13(Уравнение не содержит х).
понижает порядок уравнения на 1.
Слайд 16 Интегрирование понижает порядок уравнения на единицу.
Пример.
Решение.
Слайд 19 Линейное дифференциальное уравнение называется неоднородным (НЛДУ) если оно
имеет вид:
Слайд 20Рассмотрим ОЛДУ второго порядка:
- частные решения ДУ.
Слайд 21Пример.
линейно зависимы,
линейно независимы.
Слайд 22то
называется определителем Вронского.
Доказательство:
Слайд 23то
Допустим
Доказательство:
Противоречие.
Слайд 24то общее решение этого
Доказательство:
уравнения равно их линейной комбинации:
Слайд 25 Докажем, что при любых начальных условиях
удовлетворяло этим начальным условиям.
Пусть