Слайд 2
![Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-1.jpg)
Функцией двух переменных называется правило,
по которому каждой паре чисел некоторого
множества М соответствует единственное
число другого множества N.
и - независимые переменные (аргументы);
- зависимая переменная;
М - область определения функции;
N - множество значений функции.
Слайд 3
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-2.jpg)
Слайд 4
![Способы задания функции двух переменных Аналитический Табличный Графический](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-3.jpg)
Способы задания функции двух переменных
Аналитический
Табличный
Графический
Слайд 5
![X Y z x y z P Q M N](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-4.jpg)
Слайд 6
![Частные производные](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-5.jpg)
Слайд 7
![Рассмотрим функцию Зафиксируем ,тогда функция примет вид Пусть аргумент в точке получил приращение , тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-6.jpg)
Рассмотрим функцию
Зафиксируем ,тогда функция
примет вид
Пусть аргумент в точке получил
приращение
, тогда
Слайд 8
![Предел , если он существует, называется частной производной (первого порядка)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-7.jpg)
Предел ,
если он существует, называется частной
производной (первого порядка) функции
по x в точке и обозначается:
; ; ;
Слайд 9
![Рассмотрим функцию Зафиксируем ,тогда функция примет вид Пусть аргумент в точке получил приращение , тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-8.jpg)
Рассмотрим функцию
Зафиксируем ,тогда функция
примет вид
Пусть аргумент в точке получил
приращение
, тогда
Слайд 10
![называется частной производной (первого порядка) функции по y в точке и обозначается: ; ; ;](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-9.jpg)
называется частной производной
(первого порядка) функции по y
в точке и обозначается:
; ; ;
Слайд 11
![Частные производные высших порядков.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-10.jpg)
Частные производные высших порядков.
Слайд 12
![Пример. Вычислить частные производные второго порядка функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-11.jpg)
Пример.
Вычислить частные производные
второго порядка функции
Слайд 13
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-12.jpg)
Слайд 14
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-13.jpg)
Слайд 15
![Полный дифференциал.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-14.jpg)
Слайд 16
![Пример. Найти полный дифференциал функции в произвольной точке. ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-15.jpg)
Пример.
Найти полный дифференциал функции
в произвольной точке.
,
Слайд 17
![Скалярное поле](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-16.jpg)
Слайд 18
![Часть пространства (или всё пространство), каждой точке которого соответствует численное](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-17.jpg)
Часть пространства (или всё
пространство), каждой точке
которого соответствует численное значение
некоторой скалярной величины
называется скалярным полем.
Слайд 19
![Производная по направлению.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-18.jpg)
Производная по направлению.
Слайд 20
![Градиент](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-19.jpg)
Слайд 21
![Экстремум функции двух переменных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-20.jpg)
Экстремум функции двух переменных
Слайд 22
![Необходимое условие существования экстремума. Пусть функция в точке имеет экстремум](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-21.jpg)
Необходимое условие существования экстремума.
Пусть функция в точке
имеет экстремум и пусть
существует
и .
Тогда ,
Слайд 23
![Достаточное условие существования экстремума](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-22.jpg)
Достаточное условие существования экстремума
Слайд 24
![Пусть для функции в критической точке существуют производные , , . Составим определитель](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-23.jpg)
Пусть для функции в
критической точке существуют
производные , , .
Составим определитель
Слайд 25
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-24.jpg)
Слайд 26
![Возможны три случая: >0 , тогда точка – точка экстремума:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-25.jpg)
Возможны три случая:
>0 , тогда точка – точка
экстремума:
при >0
– точка минимума;
при <0 – точка максимума.
2) <0, тогда не является точкой
экстремума.
Слайд 27
![=0 , тогда необходимы дополнительные исследования.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-26.jpg)
=0 , тогда необходимы
дополнительные исследования.
Слайд 28
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-27.jpg)
Слайд 29
![Решая систему ,получим четыре стационарные точки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-28.jpg)
Решая систему ,получим четыре
стационарные точки
Слайд 30
![Проверим достаточное условие экстремума в каждой из точек. ; ;](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94117/slide-29.jpg)
Проверим достаточное условие экстремума
в каждой из точек.
; ; .
Для точки
:
Значит, в точке экстремума нет.