Линейная функция и ее график презентация

Функция вида y = k x + b.
Определение. Функция вида y = k x+ b, где: x – независимая переменная, y – зависимая переменная,
k и b – некоторые числа,
называется линейной.
Область определения функции: x – любое действительное число.
Область значений функции: y – любое действительное число.
График линейной функции – прямая.
I
II
III
IV

Построение графика линейной функции y = k x + b.
Из геометрии известно, что через две точки проходит только одна прямая, поэтому, для того чтобы построить график функции y = k x + b, достаточно построить две точки графика, а затем провести через эти точки прямую.
x1
y1
x2
y2
Y = k x + b
x1 задаем,
y1 вычисляем
по формуле: y1 = k x1+ b
•
•
X1
у1
x2 задаем,
у2 вычисляем
по формуле: у2 = k x2 + b
x2
у2

Построение графика функции y = k x, b = 0.
Задаем x1, вычисляем y1: y1 = k x1
x1
y1
•
Так как начало координат (точка с координатами x = 0, y = 0) принадлежит графику функции y = k x, то для построения этого графика достаточно найти еще одну точку ( x1, y1) и провести через эти две точки прямую.

Построение графика функции y = k x при к > 0, b = 0
у = x
.k = 1,
X
y
II. K = 2, y = 2 x
x
y
III. K = 0,5; y = 0,5 x
x
y
x
y
I
II
0
2
III
2
4
k1
k2
I
1
k3
1) От числа K зависит угол наклона прямой к оси абсцисс (к ОX).
Y = k x
0
0
2
2
0
0
2
4
0
0
2
1
2) Чем больше К, тем больше угол наклона.
3) При К > 0 и b = 0 прямая проходит через | и ||| четверти.

Построение графика y = k x, k < 0, b = 0.
Y=k x
I. k = -1, y = -x
x 0 2
y 0 -2
II. k = -2, y = -2 x
x 0 2
y 0 -4
III. K = -0,5; y = -0,5 x
x 0 2
y 0 -1
I
II
III
k1
k2
к3

Построение графика функции y = k x + b, k > 0, b < 0, b = 0,b > 0.
I. Y = 1,5 x - 2
x
y
I
x 0 1
y 0 3
II
III. Y = 0,5 x + 1,5
x 0 -3
y 1,5 0
III
Прямая I пересекает ось OY в точке A(0; -2),
прямая II – в точке O (0; 0),
Прямая Y= k x + b пересекает ось OY
в точке с координатами ( 0; b ).
0
-2
2
·
·
1
II.Y = 3k
прямая III – в точке B ( 0; 1,5 )
•
•
•
•
A
B

Построение графика функции y = k x + b, k < 0, b < 0, b = 0, b > 0
I. Y = -1,5 x - 2
x 0 -2
y -2 1
II. Y = -3 x
x 0 -1
y 0 3
III. Y = - 0,5 x + 1,5
x 0 2
y 1,5 0,5
y
x
I
II
0
-2
III
-2
3
1,5
1
-1
Прямая I пересекает ось OY в
точке (0; -2), прямая II – в точке (0;0),
прямая III – в точке (0; 1,5).
Прямая y = k x+ b пересекает ось OY
в точке с координатами ( 0; b).
2

Построение графика функции y = k x + b, k > 0, k1 = k2 = = kn
I. Y = 1,5 x + 3
x 0 -3
y 3 -1,5
II.
y = 1,5 x
x 0 1
y 0 1,5
III. y = 1,5 x - 2
x 0 2
y -2 1
y
x
3
-3
1,5
1
0
2
I
II
III
-1,5
-2
1
K – коэффициент наклона прямой
к оси OY, поэтому, если k1 = k2 = = k n
прямые параллельны.
•
•
•
•
•

Построение графика функции y = k x + b, k < 0, k1= k2 = k3 = = k n
.
I. y = -2 x + 1,5
x 0 2
y 1,5 -2,5
II. y = -2 x
x 0 2
y 0 -4
III. y = -2 x - 1,5
x 0 -2
y -1,5 2,
5
y
x
2
I
II
III
1,5
0
-2,5
-4
-2
2,5
-1,5
Прямые параллельны, так как коэффициенты наклона прямых к оси ОУ равны , т. е. к1= к2= к4 = -2
•
•
•

Построение графика линейной функции y = b и x = b.
I. y= 3, где k = 0, b = 3
или y= 0 x + 3, следовательно, y = 3 при любом значении х, так как 0Х= 0.
Таким образом, прямая y=3 параллельна оси ОХ и пересекает ось ОУ в точке с координатами ( 0; 3).
II. x = -1,5 рассматривают как функцию x = 0y – 1,5;где x= -1,5 при любом значении y, так как 0Y= 0 . Прямая x = -1,5 параллельна оси ОУ и пересекает ось ОХ в точке с координатами (-1,5;0).
k = 0, b = 3
y
x
0
3
Y=3
-1,5
X= -1,5

Исследование графика линейной функции y= k x + b.
I. Y = 2 x, .
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
-3 -2 -1
-2
-4
-6
A
B
C
1 2 3 4
6
4
2
E
F
D
y
x
1) Y =0 при x = 0
2) y< 0 при x < 0
3) y >0 при x
> 0
при k > 0
I
b = 0

Исследование графика линейной функции y = k x + b.
y = - 2 x
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
y
x
I.
I
-3 -2 -1 0 1 2 3
6
4
2
-2
-4
-6
А
В
С
D
E
F
y = 0, при x = 0
y > 0 при x < 0
3) y < 0 при x > 0
При
K < 0
b = 0

Исследование графика функции y = k x + b, k > 0, b > 0.
I. y = 2x +1
y
x
•
•
-2 -1,5 -1-0,5
0 0,5 1
A
B
C
D
E
F
K
-1
-2
-3
1
2
3
x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1
y -3 -2 -1 0 1 2 3
1) y = 0 при х = -0,5
2) y >0 при х > -0,5
3) y <0 при x <-0,5
Те значения Х, при которых значения У равны 0, называют нулями функции.
у = 0 при х =-0,5
х = -0,5
нуль функции.

Исследование графика функции у = к х + b, k < 0.
y
x
y = - x + 1,5
-3 -2 -1 0 1 1,5 2
4,5 3,5 2,5 1,5 0,5 0 -0,5 -1,5
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
•
•
1,5
1,5
2,5
3,5
4
-2,5
x
y
4
0,5
4,5
-0,5
-1,5
-2,5
y = 0 при х = 1,5
у > 0 при х < 1,5
3) y < 0 при х > 1,5
A
B
C
D
E
F
K
L
M
•
4
I
II
II.
y = 0 при х - ?
y > 0 при х - ?
3) y < 0 при х - ?
I.

Чтение графика функции у = к х + b.
x
y
0
B
1
1
y = k x + b
b = -1
-
y = k x - 1
1)
2)
B ( 2; 1 )
y = k x -
1
1 = k 2 - 1
2k = 2
k = 1
3) b = -1, k = 1 y = x -1
I.
I.
II.
По графику найти числа k и b
и записать формулу функции.
II