Математический анализ. Множества. Числовые последовательности презентация

Логическая символика

1 Понятие множества
Множество (set) – некоторая, вполне определенная совокупность объектов произвольной природы, каждый их которых называется элементом множества.
Георг Кантор (1845-1918)
Множество есть «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью».

Примеры множеств

Объекты, которые образуют множество, называются его элементами.
Бесконечное множество содержит бесконечное число элементов. Конечное множество состоит из конечного числа элементов.
Пример.
Множество натуральных чисел – бесконечное множество.
Множество студентов факультета – конечное множество.
Элементы множества
(set members)

Обозначения
В дальнейшем множества будем обозначать прописными латинскими буквами, элементы – строчными латинскими.
a ∈ A – «элемент a принадлежит множеству A».
a ∉ A – «элемент a не принадлежит множеству A»

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается ∅.
Пример. Множество оценок в зачетке первокурсника в первом семестре.
Пустое множество
(empty set, null set)

Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества В является элементом множества А.
Рис. Диаграмма Эйлера-Венна, изображающая подмножество В множества А
Пример. Множество первокурсников есть подмножество множества студентов.
Подмножество (subset)

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Обозначение: A = B
Например, A = {филателисты} и B={аквалангисты}
Равные множества (equal sets)
А=В ⇔ если любой филателист является одновременно аквалангистом и наоборот.

Универсальное множество U есть совокупность всех рассматриваемых в задаче множеств.
Пример. Имеются два множества:
A = { 3, 7, 11, 15 }
B = { 2, 4, 6, …, 2n, … }
Множество U = { все целые числа } является универсальным множеством для множеств A и B.
Универсальное множество (universal set)

Числовые множества
N ={1, 2, 3…} – множество натуральных чисел;
Z ={0, ±1, ±2, ±3,… } – множество целых чисел ;
Q – множество рациональных чисел вида
I – множество иррациональных чисел, т.е. чисел, представимых в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, например , e, π, …;
R – множество действительных (вещественных) чисел, образуемое совокупностью рациональных Q и иррациональных I чисел:

2 Операции над множествами
2-1 Объединение (сумма)
2-2 Пересечение (произведение)
2-3 Разность (вычитание)
2-4 Симметрическая разность
2-5 Дополнение
2-6 Свойства операций

Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств:
2-1 Объединение множеств
(sum of sets)
Обозначение: А + В = А∪ В
ВОПРОС:
D = { 1, 3, 5} и F = { 2, 4, 6}.
Тогда M = D∪ F = ?
Пример.
A = { жители Москвы } и B = { жители Подмосковья }
С = А∪ В = { жители Москвы или Подмосковья }

Пересечением (произведением) двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств:
2-2 Пересечение множеств (intersections of sets)
Пример.
A = { студенты, участвовавшие в концерте }
B = { студенты 104 группы }
D = { студенты 104 группы, участвовавшие в концерте }
Обозначение: А·В = А∩ В
ЗАДАЧА
A = (0;5) и B = [4;9)
D = А∩В?

Разностью двух множеств А и В называется множество F, состоящее из всех элементов принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В:
Обозначение: А – В = А \ В
2-3 Разность множеств
(set difference)
Пример.
A = [1;3] и B = N
F = А – В = (1;2)∪(2;3)
ЗАДАЧА
A = R и B = I
F = А \ I = ?

Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество G, состоящее из всех элементов исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам:
Обозначение: А ∆ В
2-4 Симметрическая разность множеств
Пример
А={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7}
G=А ∆ В ={1,2,6,7}

Дополнением к множеству A называется множество элементов универсального множества, не принадлежащих A:
Ᾱ = U – A
Обозначение:
Пример.
A = { девушки 11 группы }
U = { все студенты 11 группы }
Ᾱ = { юноши 11 группы }
2-5 Дополнение к множеству
(set compliment)

Для введенных операций присущи следующие свойства:
2-6 Свойства операций над множествами

3
Числовые промежутки и ограниченные множества

Числовые промежутки

Окрестность точки
(neighborhood of point)
Абсолютная величина разности двух чисел |x – a| означает расстояние между двумя точками х и а числовой прямой как для случая х<а, так и для х>а.
Окрестность точки c – произвольный интервал (a,b), содержащий точку с.

Эпсилон–окрестность точки
Эпсилон–окрестность точки a:
или
.

Ограниченные множества

Если множество Х ограничено сверху, то говорят, что множество имеет верхнюю границу
Наименьшая из верхних границ множества Х называется точной верхней гранью и обозначается supX.
Наибольшая из нижних границ множества Х называется точной нижней гранью и обозначается infX.
Грани числовых множеств

Задача.
Найти точную верхнюю и точную нижнюю грани множества [0, 1).
Решение.
1. Это множество не имеет наибольшего элемента, так как для найдется
такой, что
Множество верхних граней для данного полуинтервала [0, 1) – это множество
с наименьшим элементом, равным 1. Отсюда
причем 1 не принадлежит заданному множеству.

С другой стороны, наименьший элемент для рассматриваемого множества существует и равен 0.
Множество нижних граней – это множество
с наибольшим элементом, равным 0, который и является точной нижней гранью полуинтервала
Таким образом,
причем
Неограниченные множества: (-∞,∞), (-∞,2], [-5,∞).
ТВГ (-∞,2] равна 2, ТНГ [-5,∞) равна -5.

4
Числовые последовательности
1 Определение последовательности
2 Предел последовательности
3 Теоремы о пределах
4 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
5 Вычисление пределов

4-1 Определение последовательности
Если каждому натуральному числу n по определенному закону поставлено в соответствие некоторое число xn, то множество
пронумерованных чисел x1, x2, x3,… называется числовой последовательностью.
Элементы этого множества называются членами числовой последовательности.

Примеры последовательностей

Графики последовательностей

Ограниченная последовательность

ПРИМЕРЫ

Пример ограниченной последовательности

4-2 Предел последовательности
Понятие последовательности
Определение предела последовательности
Геометрический смысл

Предел последовательности

Предел числовой последовательности

Определение предела в кванторах

Геометрический смысл

пример 1

решение примера 1

решение примера 1(продолжение)

пример 2

пример 3

Кому нужен такой «формализм»?

Ответ

4-3 Основные теоремы о
пределах
Единственность предела
Предел суммы, произведения, частного
Признаки существования предела

Единственность предела

Предел суммы

Пределы произведения и частного

Монотонность и ограниченность (признак существования предела)

Теорема «о двух милиционерах»

4-4 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малых последовательностей

Примеры бесконечно малых последовательностей

4-5 Вычисление пределов