Обыкновенные дифференциальные уравнения презентация

Содержание

Слайд 2

Лекция 11

Обыкновенные дифференциальные
уравнения

Лекция 11 Обыкновенные дифференциальные уравнения

Слайд 3

Основной задачей теории ДУ является нахождение неизвестных функций, входящих в дифференциальные

Основной задачей теории ДУ является нахождение неизвестных функций, входящих в дифференциальные уравнения.
уравнения.

Слайд 4

Примеры

- ДУ 1-го порядка,

- ДУ 3-го порядка.

Порядок наивысшей производной, входящей в

Примеры - ДУ 1-го порядка, - ДУ 3-го порядка. Порядок наивысшей производной, входящей
уравнение, называется порядком ДУ.

Слайд 5

График этой функции называется интегральной кривой.

График этой функции называется интегральной кривой.

Слайд 7

Всякое решение, которое получается из общего при конкретных значениях произвольных постоянных,

Всякое решение, которое получается из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением ДУ.
называется частным решением ДУ.

Слайд 8

Пример:

Решение:

удовлетворяет уравнению и является общим решением.

Пример: Решение: удовлетворяет уравнению и является общим решением.

Слайд 9

На графике это будет однопараметрическое семейство кривых .

Общее решение:

ДУ

На графике это будет однопараметрическое семейство кривых . Общее решение: ДУ первого порядка называется уравнение или
первого порядка называется уравнение

или

Слайд 10

Пример.

- общее

- частное

Пример. - общее - частное

Слайд 11

Задача Коши

Пусть

ДУ 1-го порядка,

Найти

решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию.

начальное условие.

Геометрический смысл:

Задача Коши Пусть ДУ 1-го порядка, Найти решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. начальное условие. Геометрический смысл:

Слайд 13

Геометрический смысл теоремы Коши.

Особая точка дифференциального уравнения – точка (х,у), в

Геометрический смысл теоремы Коши. Особая точка дифференциального уравнения – точка (х,у), в которой
которой нарушается единственность решения задачи Коши.

Слайд 14

Пример.

Пример.

Слайд 15

Типы ДУ первого порядка.

I. ДУ с разделяющимися переменными.

называется ДУ с разделяющимися

Типы ДУ первого порядка. I. ДУ с разделяющимися переменными. называется ДУ с разделяющимися переменными.
переменными.

Слайд 16

Пример 1.

Решение.

Общий интеграл этого уравнения:

Пример 1. Решение. Общий интеграл этого уравнения:

Слайд 17

или, представив постоянную интегрирования в логарифмической форме

Пример 2.

Решение.

или, представив постоянную интегрирования в логарифмической форме Пример 2. Решение.

Слайд 18

приводятя к уравнениям с разделяющимися переменными.

2. Однородные ДУ.

однородным ДУ первого

приводятя к уравнениям с разделяющимися переменными. 2. Однородные ДУ. однородным ДУ первого порядка.
порядка.

Слайд 19

Пример 1.

Решение.

Дифференциальное уравнение– однородное.

Пример 1. Решение. Дифференциальное уравнение– однородное.

Слайд 20

- общее решение.

- общее решение.

Слайд 21

Пример 2.

Решение.

Дифференциальное уравнение– однородное.

Пример 2. Решение. Дифференциальное уравнение– однородное.

Слайд 23

Замечания.

однородное, т.к. оно равносильно уравнению

Замечания. однородное, т.к. оно равносильно уравнению

Слайд 24

с помощью замены:


с помощью замены:

Слайд 25

приводит исходное ДУ к уравнению с разделяющимися переменными.

приводит исходное ДУ к уравнению с разделяющимися переменными.

Слайд 26

3. Линейные ДУ первого порядка.

3. Линейные ДУ первого порядка.

Слайд 27

Уравнение принимает вид:

Уравнение принимает вид:

Слайд 28

В итоге общее решение имеет вид:

В итоге общее решение имеет вид:

Слайд 29

Пример.

Решение.

Пример. Решение.

Слайд 30

Общее решение:

Общее решение:

Слайд 31

4. Уравнение Бернулли.

называется уравнением Бернулли.

4. Уравнение Бернулли. называется уравнением Бернулли.

Слайд 32

Пример:

Решение.

Уравнение Бернулли также решается с помощью подстановки y=u(x)v(x)

Пример: Решение. Уравнение Бернулли также решается с помощью подстановки y=u(x)v(x)
Имя файла: Обыкновенные-дифференциальные-уравнения.pptx
Количество просмотров: 35
Количество скачиваний: 0