Подготовка к ЕГЭ. Решение задач С2 презентация

Типы задач С2
Расстояние между двумя точками
Расстояние от точки до плоскости
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями

Расстояние между двумя точками
Пусть точки - концы отрезка АВ. Тогда внутренняя точка С отрезка АВ такая, что АС:СВ=k, имеет координаты

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, сторона основания
и боковое ребро которой равны и 5 соответственно. Найдите
расстояние между точками Е и К, если известно, что Е лежит на
боковом ребре SB и SE=2BE, а К – на стороне основания AD и AK=3KD.
А
В
С
D
S
K.
.E
z
y
x
5
AC=8
AO=4
SO=3
O

AC=8
AO=4
SO=3

Расстояние от точки до плоскости
Координатный метод
Расстояние от точки заданной уравнением ax+by+cz+d=0, можно вычислить по формуле

Задача (ЕГЭ, 2012). В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны
основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D –
середина ребра CC1. Найдите расстояние от вершины
С до плоскости ADB1.
А
А1
В
В1
С
С1
z
y
x
. D
2
3
О
Решение:
Подставим координаты точек в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0,
Вычислим расстояние от точки С до плоскости ADB1 по формуле:

Угол между прямой и плоскостью
Векторно - координатный метод
Угол между прямой ℓ и плоскостью α можно вычислить по формуле

Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона
основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой F1B1
и плоскостью AF1C1.
Решение:
А
А1
В
В1
С
С1
D
E
F
D1
E1
F1
y
x
z
3
1

Угол между плоскостями
Векторно - координатный метод
Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной системе координат уравнениями p1x+q1y+r1z+d1=0 и p2x+q2y+r2z+d2=0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей

Задача (ЕГЭ, 2012). В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 5.
На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=3:2.
Найдите угол между плоскостями АВС и BED1.
А
А1
В
В1
С
С1
D
D1
E .
y
x
z
2
5
Решение:
Составим уравнение плоскости BED1.
В(2;0;0), Е(0;0;3), D1(0;2;5)
Подставим координаты точек в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0,
Т. к. ось Аz перпендикулярна плоскости основания, то нормальный вектор плоскости АВС имеет координаты

Спасибо за внимание!

Пусть точки - концы отрезка АВ. Тогда внутренняя точка С отрезка АВ такая, что АС:СВ=k, имеет координаты
Расстояние между двумя точками

Расстояние от точки до плоскости
Координатный метод
Расстояние от точки заданной уравнением ax+by+cz+d=0, можно вычислить по формуле

Угол между прямой и плоскостью
Векторно - координатный метод
Угол между прямой ℓ и плоскостью α можно вычислить по формуле