Слайд 2
![Функции работы с изображениями Imshow Imwrite imread](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-1.jpg)
Функции работы с изображениями
Imshow
Imwrite
imread
Слайд 3
![Функции конвертации Im2bw Im2double Rgb2gray Uint8 uint16](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-2.jpg)
Функции конвертации
Im2bw
Im2double
Rgb2gray
Uint8
uint16
Слайд 4
![Функции работы с матрицами Max Min Sum Zeros Ones .* и * ./ и /](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-3.jpg)
Функции работы с матрицами
Max
Min
Sum
Zeros
Ones
.* и *
./ и /
Слайд 5
![Векторизация meshgrid](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-4.jpg)
Слайд 6
![Общие задания](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-5.jpg)
Слайд 7
![Вывод сферического волновоо фронта Задача: вывести на экран картинку сферического (кругового в 2D случае) волнового фронта](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-6.jpg)
Вывод сферического волновоо фронта
Задача: вывести на экран картинку сферического (кругового в
2D случае) волнового фронта
Слайд 8
![Перестановки Задача: реализовать функцию, принимающую на вход произвольный набор элементов,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-7.jpg)
Перестановки
Задача: реализовать функцию, принимающую на вход произвольный набор элементов, результатом работы
которой является список всех возможных перестановок этих элементов.
input: a b c output: a b c; a c b;
b a c; b c a; c a b; c b a.
Слайд 9
![Дискретное преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье N – число элементов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-8.jpg)
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье
N – число элементов последовательности (размер
массива)
k – k-ый элемент нового массива
j – мнимая единица (в матлабе переменная i)
Слайд 10
![Дискретное преобразование Фурье Обратное дискретное преобразование Фурье Поворачивающий множитель](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-9.jpg)
Дискретное преобразование Фурье
Обратное дискретное преобразование Фурье
Поворачивающий множитель
Слайд 11
![Свойства поворачивающего множителя k – степень, а не индекс. Если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-10.jpg)
Свойства поворачивающего множителя
k – степень, а не индекс. Если равен 1,
то не записываем
ДПФ через поворачивающий множитель
Слайд 12
![Свойства поворачивающего множителя Некоторое комплексное число в показательной форме reiϕ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-11.jpg)
Свойства поворачивающего множителя
Некоторое комплексное число в показательной форме reiϕ
r – модуль
к.ч. (длина вектора)
ϕ – аргумент (угол поворота)
Слайд 13
![Свойства поворачивающего множителя wkN , модуль равен 1, а фаза](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-12.jpg)
Свойства поворачивающего множителя
wkN , модуль равен 1, а фаза – 2π/N
При умножении к.ч. В показательной форме модули перемножаются, а аргументы складываются.
Тогда, перемножение исходного числа на поворачивающий множитель изменит только угол поворота
Т.о. геометрический смысл преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить N комплексных чисел-векторов из набора {x}, каждое в виде суммы векторов из набора {X}, повернутых на углы, кратные 2π/N
Слайд 14
![Теорема 0 Теорема: Если комплексное число представлено в виде e](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-13.jpg)
Теорема 0
Теорема:
Если комплексное число представлено в виде e j2πN, где N - целое, то это
число e j2πN = 1.
Доказательство:
По формуле Эйлера, и ввиду периодичности синуса и косинуса: e j2πN = cos(2πN) + j sin(2πN) = cos 0 + j sin 0 = 1 + j0 = 1
Слайд 15
![Теорема 1 Теорема: Величина периодична по k и по n](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-14.jpg)
Теорема 1
Теорема:
Величина периодична по k и по n с периодом N. То есть, для любых целых l и m выполняется
равенство:
Слайд 16
![Теорема 1 Доказательство: Величина -h = -(nl+mk+mlN) - целая, так](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-15.jpg)
Теорема 1
Доказательство:
Величина -h = -(nl+mk+mlN) - целая, так как все множители целые, и
все слагаемые целые. Значит, мы можем применить Теорему 0
Слайд 17
![Теорема 2 Теорема: Для величины справедлива формула: Доказательство:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-16.jpg)
Теорема 2
Теорема:
Для величины справедлива формула:
Доказательство:
Слайд 18
![Быстрое преобразование Фурье Идея: Необходимо разделить сумму в формуле ДПФ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-17.jpg)
Быстрое преобразование Фурье
Идея:
Необходимо разделить сумму в формуле ДПФ из N слагаемых на две
суммы по N/2 слагаемых, и вычислить их по отдельности. Для вычисления каждой из подсумм, надо их тоже разделить на две и т.д.
Необходимо повторно использовать уже вычисленные слагаемые.
Слайд 19
![Быстрое преобразование Фурье Применяют: «Прореживание по времени», когда в первую](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-18.jpg)
Быстрое преобразование Фурье
Применяют:
«Прореживание по времени», когда в первую сумму попадают слагаемые
с четными номерами, а во вторую - с нечетными
ИЛИ
«Прореживание по частоте», когда в первую сумму попадают первые N/2 слагаемых, а во вторую - остальные.
В силу специфики алгоритма приходится применять только N, являющиеся степенями 2.
Слайд 20
![Теорема 3 Определим еще две последовательности: {x[even]} и {x[odd]} через](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/132228/slide-19.jpg)
Теорема 3
Определим еще две последовательности: {x[even]} и {x[odd]} через последовательность {x} следующим образом:
x[even]n =x2n,
x[odd]n =x2n+1, (*)
n = 0, 1,..., N/2-1,
Пусть
к этим последовательностям применены ДПФ и получены результаты в виде двух новых последовательностей {X[even]} и {X[odd]} по N/2элементов в каждой.
Утверждается, что элементы последовательности {X} можно выразить через элементы последовательностей {X[even]} и {X[odd]} по формуле:
(**)