Производная функций нескольких переменных. Часть 2 презентация

План
Разбор ДЗ.
Градиент.
Производная по направлению.
Условный экстремум – метод множителей Лагранжа.
Градиентный спуск.

По мотивам ДЗ
Квадрат! Есть разница между (sinx)^2 и sin(x^2).
sin2, sin1, cos2 можно не упрощать, но можно посчитать, используя ПО.
Единицы измерения угла:
градусы (если есть значок);
радианы – по умолчанию.

2. Найти экстремумы функций (если они есть)
1) y = |2x|
Необходимое условие: y'=|2x|/x=2|x|/x
в нуле производной не существует
Достаточное условие: производная функции существует в окрестности точки и меняет свой знак при переходе через нее
0 - экстремум (минимум)

2) y=xˆ3
Необходимое условие: y'=3xˆ2 = 0
существует стационарная точка - 0
Достаточное условие: производная существует в окрестности точки, но не меняет свой знак при переходе через нее
0 - не является экстремумом (точка перегиба)

3) y = eˆ(3x)
Необходимое условие: y'=3eˆ(3x) нет точки, где функция не существует или равна 0
Достаточное условие: -
экстремумов нет

4) y=xˆ3-5x
Необходимое условие: y'=3xˆ2 - 5=0
2 точки sqrt(5/3), -sqrt(5/3)
Достаточное условие: функция меняет знак при переходе через точку
с + на - значит максимум, с - на + значит минимум
sqrt(5/3) - локальный минимум
-sqrt(5/3) - локальный максимум

На прошлом вебинаре
Частные производные функций нескольких переменных;
Смешанные производные ФНП;
Локальные экстремумы.

Найти частные производные Z=sinx/siny
Z’(x)
Z’(y)

Найти частные производные Z=sinx/siny

Градиент
Определение

Градиент - это вектор показывающий направление наибольшего возрастания функции. Модуль вектора градиента показывает скорость изменения функции.
Градиент

Иллюстрация: градиент

Линии уровня
Линией уровня функции двух переменных называется линия (множество точек) на координатной плоскости, в которых функция принимает одинаковые значения.

Иллюстрация: линии уровня

Градиент
Пример

Производная по направлению
Источник: http://mathprofi.ru/proizvodnaja_po_napravleniju_i_gradient.html

Физический смысл производной по направлению

1. Найдём частные производные в точке М(1;2)

2. Найдём координаты направляющего вектора единичной длины

3. Вычисляем по формуле

В каком направлении у функции будет наибольшая скорость роста?

!Производная по направлению градиента принимает наибольшее значение!
68,77

По мотивам прошлого вебинара

Квадратичная форма

*Полуопределенные квадратичные формы

График

Седловая точка — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом.

Исследование функции на условный экстремум
Функция Лагранжа
Необходимые условия экстремума

Если в стационарной точке определитель матрицы A > 0, то в этой точке у функции максимум.
Если в стационарной точке определитель матрицы A < 0, то в этой точке у функции минимум.
Достаточные условия экстремума

Реализация градиентного спуска
http://kayumov.ru/401/

пример
Проблема: «овражные» функции

z=sin(xy)

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Hill_Climbing_with_Simulated_Annealing.gif
Имитация отжига

Имитация отжига