Теорема синусів презентация

Теорема синусів

Наслідки з теореми синусів
Наслідок 1. У будь-якому Δ відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, опосаного навколо цього Δ.
Увага! а=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC
Наслідок 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона.
Наслідок 3. (властивість бісектриси) Бісектриса кута Δ ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.
KC – бісектриса, тоді

Які типи задач можна розв’язати за допомогою
теореми синусів?
За стороною і прилеглими до неї кутами знаходити інші сторони і кути трикутника.
За двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них, знаходити інші сторони і кути трикутника.
За стороною і протилежним кутом знаходити радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

Виконання усних вправ

Приклад. У трикутнику ABC дано b = 9см, с = 11 см, ∠B = 50°. Знайти ∠ С, ∠ A.
Дано: ΔАВС ( див рис.), АС = 9 см, АВ = 11 см, ∠B = 50°.
Знайти: ∠ A, ∠ C.
Розв'язання
За теоремою синусів
Цьому значенню синуса відповідає два кути ≈69° і ≈111°.
Тоді ∠A = 180° - (∠C + ∠B), ∠A = 180°- (50° + 69°) = 61° або ∠A =180°-(50° + 111°)= 19°.
Відповідь. ≈69°, ≈61° або ≈111°, ≈19°.
Звідси
Виконання вправ

Виконання вправ
Приклад. У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 8 см і 10 см. Знайти гіпотенузу трикутника.
Дано: ΔАВС - прямокутний (∠C= 90°) СК= 8 см, ВК= 10 см.
Знайти: АВ.
Розв 'язання
За властивістю бісектриси СК:ВК = АС: АВ = 8 : 10 = 4 : 5 .
Отже, АС становить 4 частини, АВ - 5 таких частин. Нехай одна частина дорівнює х см, тоді АС = 4х см, АВ = 5х см.
СВ = 8 + 10 = 18 (см).
За теоремою Піфагора АВ2 = АС2 + СВ2.
Маємо:
(4х)2 + 182 = (5х)2; 16х2 + 324 = 25х2;
9х2 = 324, х2 = 36,
х = ±6, -6 — не задовольняє умову задачі.
Отже, х = 6, тоді АВ = 5 · 6 = 30 (см).
Відповідь. 30 см.