Теоремы сложения и умножения вероятностей. (Лекция 3) презентация

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
1. УСЛОВНАЯ
ВЕРОЯТНОСТЬ

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Условная вероятность
Вероятность события А при условии, что событие В с вероятностью Р(В)≠0 уже произошло, обозначается Р(А/В) и называется условной вероятностью события А при условии, что имело место событие В.

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Условная вероятность
В – событие "вынутый шар - белый",
А1 -событие "шар вынимается из 1-ой урны",
А2 -событие "шар вынимается из 2-ой урны"
1
2

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Условная вероятность

События А и В называются независимыми
если осуществление одного не влияет на вероятность осуществления другого, т.е.
или

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕОРЕМА 1
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
А – «первая карта – дама»,
В – «вторая карта дама»

ТЕОРЕМА 2
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
ТЕОРЕМА 2
Усложненное строение буквы «а» за чет повторения движения в овале Р(А)=0,06
Буква «д» с надстрочечным элементом Р(В)=0,29

ТЕОРЕМА 3
Если для двух событий выполняется равенство
то эти события независимые.

ТЕОРЕМА 4
Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Ю
Р
И
С
Т
А1 – первая буква «ю»,
А2 – вторая буква «р»,
А3 – третья буква «и»,
А4 – третья буква «с»,
А5 – пятая буква «т».
В ‑ появится слово «юрист».

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Ю
Р
И
С
Т

ТЕОРЕМА 5
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Ю
Р
И
С
Т

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
3. СУММА
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕОРЕМА 6
Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
25 ЧЕЛОВЕК ИМЕЮТ СЛЕДУЮЩИЕ ОЦЕНКИ
ОТЛИЧНО -
ХОРОШО -
УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО -
5
10
10

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Какова вероятность того, что наугад вызванный курсант отличник или хорошист?

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
А – наугад вызванный курсант –
отличник,
В – наугад вызванный курсант – хорошист.

ТЕОРЕМА 7
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

СЛЕДСТВИЕ
Сумма вероятностей попарно несовместных событий, образующих полную группу, равна 1:

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятности поражения ими цели соответственно равны 0,8 и 0,7.
Какова вероятность поражения цели?

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
А1 – поражение цели первым стрелком,
А2 – поражение цели вторым стрелком,
В – поражение цели вообще

ТЕОРЕМА 8
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова

СЛЕДСТВИЕ
В случае трех совместных событий вероятность их суммы вычисляется по формуле:

ТЕОРЕМА 9
Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

ТЕОРЕМА 10
Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий В1, В2,...,Вn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, т.е.

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Вероятность того, что во время работы ПК произошел сбой: в арифметическом устройстве 0,3,
в оперативной памяти – 0,2,
в остальных устройствах – 0,5.
Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8, 0,9, 0,9.
Найти вероятность того, что возникший в ПК сбой будет обнаружен.

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Обозначим через А событие – сбой будет обнаружен. Возможны следующие предположения (гипотезы):
В1 – сбой произошел в арифметическом устройстве,
В2 – сбой произошел в оперативной памяти,
В3 – сбой произошел в остальных устройствах.
Воспользуемся формулой полной вероятности:

Алгоритм применения ф.Байеса
1. Выдвигают предположения – гипотезы В1, В2,...,Вn. Данные гипотезы составляют полную группу несовместных событий.

Алгоритм применения ф.Байеса
2. Устанавливают доопытные (априорные) вероятности данных гипотез: из интуитивных или каких-либо других соображений.

Алгоритм применения ф.Байеса
3. Проводят эксперимент, в результате которого происходит событие А.
Таким образом получают новую информацию, на основании которой выполняют переоценку доопытных вероятностей гипотез по формуле Байеса:

Алгоритм применения ф.Байеса
где Р(А) определяется по формуле полной вероятности.
Т.о. заменяют доопытные (априорные) вероятности гипотез послеопытными (апостериорными).

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
Вероятность обнаружить признак А в рукописи, выполненной женщиной равна 0,1, а в рукописи, выполненной мужчиной – 0,3.
На исследование поступила рукопись, в которой обнаружен данный признак. Какова вероятность, что данная рукопись выполнена женщиной? Какова вероятность, что данная рукопись выполнена мужчиной?

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
А – в рукописи обнаружен признак А;
М – рукопись выполнена мужчиной;
Ж – рукопись выполнена женщиной.

10/02/2022
Ирина Юрьевна Харламова
А – в рукописи обнаружен признак А;
М – рукопись выполнена мужчиной;
Ж – рукопись выполнена женщиной.