Слайд 2
![1. 2. 3. тройка – правая (т.е. при наблюдении из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-1.jpg)
1.
2.
3. тройка – правая (т.е. при наблюдении из конца вектора кратчайший
поворот от к виден совершающимся против часовой стрелки.
Слайд 3
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-2.jpg)
Слайд 4
![Свойства векторного произведения 1. 2. 3. 4.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-3.jpg)
Свойства векторного произведения
1.
2.
3.
4.
Слайд 5
![Если то векторное произведение вычисляется по формуле](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-4.jpg)
Если
то векторное произведение вычисляется по формуле
Слайд 6
![Приложения векторного произведения к задачам геометрии и механики.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-5.jpg)
Приложения векторного произведения к задачам геометрии и механики.
Слайд 7
![Площадь параллелограмма (геометрический смысл векторного произведения). Площадь треугольника](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-6.jpg)
Площадь параллелограмма (геометрический смысл векторного произведения).
Площадь треугольника
Слайд 8
![Момент силы (механический смысл векторного произведения). Пусть точка А твердого](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-7.jpg)
Момент силы (механический смысл векторного произведения).
Пусть точка А твердого тела закреплена,
а в точке В приложена сила . Тогда возникает вращающий момент
Слайд 9
![Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(7,3,4), B(1,0,6) , C(4,5,-2).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-8.jpg)
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(7,3,4), B(1,0,6) , C(4,5,-2).
Слайд 10
![Решение. Находим векторы Вычисляем векторное произведение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-9.jpg)
Решение. Находим векторы
Вычисляем векторное произведение
Слайд 11
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-10.jpg)
Слайд 12
![Тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-11.jpg)
Тогда
Слайд 13
![Смешанное произведение векторов Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-12.jpg)
Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением трех векторов
называется число
Слайд 14
![Если то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-13.jpg)
Слайд 15
![Приложения смешанного произведения к задачам геометрии](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-14.jpg)
Приложения смешанного произведения к задачам геометрии
Слайд 16
![Объём параллелепипеда, построенного на векторах (геометрический смысл смешанного произведения). Объём пирамиды](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-15.jpg)
Объём параллелепипеда, построенного на векторах
(геометрический смысл смешанного произведения).
Объём пирамиды
Слайд 17
![Условие компланарности векторов в координатной форме: – компланарны](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-16.jpg)
Условие компланарности векторов в координатной форме:
– компланарны
Слайд 18
![Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках A(2,0,0), B(0,3,0), C(4,0,6), D(2,3,8).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-17.jpg)
Пример. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках A(2,0,0), B(0,3,0), C(4,0,6),
D(2,3,8).
Слайд 19
![Решение. Находим векторы Вычислим смешанное произведение этих векторов:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-18.jpg)
Решение. Находим векторы
Вычислим смешанное произведение этих векторов:
Слайд 20
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-19.jpg)
Слайд 21
![Тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-20.jpg)
Слайд 22
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-21.jpg)
Слайд 23
![Модуль 2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-22.jpg)
Модуль 2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Слайд 24
![Плоскость и её основные уравнения Рассмотрим плоскость P в прямоугольной декартовой системе координат.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-23.jpg)
Плоскость и её основные уравнения
Рассмотрим плоскость P в прямоугольной декартовой
системе координат.
Слайд 25
![Положение плоскости вполне определяется точкой и вектором нормали](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-24.jpg)
Положение плоскости вполне определяется
точкой
и вектором нормали
Слайд 26
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-25.jpg)
Слайд 27
![Возьмём любую точку и построим вектор](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-26.jpg)
Возьмём любую точку
и построим вектор
Слайд 28
![Так как , то скалярное произведение или](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-27.jpg)
Так как , то скалярное произведение
или
Слайд 29
![Получили уравнение плоскости, заданной точкой и вектором нормали](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-28.jpg)
Получили уравнение плоскости, заданной
точкой
и вектором нормали
Слайд 30
![Если в уравнении раскрыть скобки и обозначить то получим общее уравнение плоскости:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-29.jpg)
Если в уравнении
раскрыть скобки и обозначить
то получим
общее уравнение плоскости:
Слайд 31
![Теорема. Всякое уравнение вида определяет некоторую плоскость в пространстве.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-30.jpg)
Теорема. Всякое уравнение вида
определяет некоторую плоскость в пространстве.
Слайд 32
![Если в этом уравнении какой-либо из коэффициентов A, B, C](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-31.jpg)
Если в этом уравнении какой-либо из коэффициентов A, B, C равен
нулю, то плоскость расположена параллельно той оси, координата которой отсутствует в уравнении.
Слайд 33
![Например, при A = 0 плоскость By + Cz +](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-32.jpg)
Например, при A = 0 плоскость By + Cz + D
= 0 параллельна оси Ox; при A = B = 0 плоскость Cz + D = 0 параллельна осям Ox и Oy, т.е. плоскости xOy и т.д.
Слайд 34
![Пусть в уравнении ни один из коэффициентов не равен 0.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-33.jpg)
Пусть в уравнении
ни один из коэффициентов не равен 0.
Перепишем это уравнение в виде
разделим обе части этого равенства на - D и обозначим
Слайд 35
![Получим уравнение плоскости в отрезках:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-34.jpg)
Получим уравнение плоскости в отрезках:
Слайд 36
![где a, b, c – это величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-35.jpg)
где a, b, c – это величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью
на осях координат
Слайд 37
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-36.jpg)
Слайд 38
![Если три точки не лежат на одной прямой, то через эти точки проходит единственная плоскость:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-37.jpg)
Если три точки
не лежат на одной прямой, то через эти
точки проходит единственная плоскость:
Слайд 39
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-38.jpg)
Слайд 40
![Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-39.jpg)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:
Слайд 41
![Пусть даны две плоскости и Угол φ между двумя плоскостями равен углу между их векторами нормали:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-40.jpg)
Пусть даны две плоскости
и
Угол φ между двумя плоскостями равен
углу между их векторами нормали:
Слайд 42
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-41.jpg)
Слайд 43
![Расстояние d от точки до плоскости определяется по формуле](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-42.jpg)
Расстояние d от точки
до плоскости
определяется по формуле
Слайд 44
![Пример. Даны две точки Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-43.jpg)
Пример. Даны две точки
Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
M1 перпендикулярно вектору
Слайд 45
![Решение. Поскольку искомая плоскость перпендикулярна вектору , то в качестве вектора нормали возьмем вектор](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-44.jpg)
Решение. Поскольку искомая плоскость перпендикулярна вектору , то в качестве вектора
нормали возьмем вектор
Слайд 46
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-45.jpg)
Слайд 47
![Подставив теперь в уравнение а также координаты точки M1: получим уравнение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/19191/slide-46.jpg)
Подставив теперь в уравнение
а также координаты точки M1:
получим уравнение