Алгоритм приведения к каноническому виду уравнения с корнем. Примеры решения презентация

Содержание

Слайд 3

Из условия видим, что множество значений, которые может принимать y, удовлетворяет

Из условия видим, что множество значений, которые может принимать y, удовлетворяет неравенству: y
неравенству:
y<7.
Избавимся от иррациональности. Для этого перенесем свободный член в левую сторону уравнения
и возведем обе части равенства в квадрат:

Для дальнейшего приведения к каноническому виду выделим в правой части полный квадрат:
Подставим преобразованное выражение в равенство (1)
раскроем большие скобки в правой части
соберем все неизвестные слева
- гипербола, О(3, 7), полуоси мнимая а = 2, действительная b = 3.

(1)

Слайд 4

Множество значений у: y<7.

- гипербола, О(3, 7), полуоси: мнимая а =

Множество значений у: y - гипербола, О(3, 7), полуоси: мнимая а = 2,
2, действительная b = 3.

(1)

Слайд 5

Исходное уравнение
определяет нижнюю ветвь гиперболы, расположенную под прямой y=7.

Исходное уравнение определяет нижнюю ветвь гиперболы, расположенную под прямой y=7.

Слайд 6

Задача 2.

Установите, какую линию определяет уравнение
Нарисуйте ее график.

Решение.

или

Вывод: исследуемое уравнение задает

Задача 2. Установите, какую линию определяет уравнение Нарисуйте ее график. Решение. или Вывод:
кривую 2-го порядка –
левая ветвь параболы с вершиной в точке (1, -1).

Учтем ОДЗ заданного уравнения:

Слайд 7

Задача 3.

Установите, какую линию определяет уравнение
Нарисуйте ее график.

Решение.

Выделим полный квадрат:

Тогда или

Искомая

Задача 3. Установите, какую линию определяет уравнение Нарисуйте ее график. Решение. Выделим полный
линия –
нижняя часть окружности:
(y + 2)2 + (x – 4)2 = 52,
y ≤ -2, x ∈ [-1, 9].

Слайд 8

КРИВЫЕ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

РЕШЕНИЕ задач на построение

КРИВЫЕ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ РЕШЕНИЕ задач на построение

Слайд 9

Полярные координаты на плоскости

,

Полярные координаты на плоскости ,

Слайд 10

Связь полярных координат с декартовыми

Связь полярных координат с декартовыми

Слайд 11

как построить линию в полярной системе координат?
– Сначала необходимо отметить полюс,

как построить линию в полярной системе координат? – Сначала необходимо отметить полюс, изобразить
изобразить полярную ось и указать масштаб. Кроме того, на первоначальном этапе желательно найти область определения функции, чтобы сразу же исключить из рассмотрения лишние угловые значения.
– В большинстве случаев потребуется найти несколько точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись только схематическим чертежом.
– На следующем шаге следует прочертить угловые направления и отметить найденные значения точек.
– Отложенные точки соединить плавной линией.
Рассмотрим несколько типовых задачах:

Слайд 12

Задача 1.

Решение. Найдем уравнение данной линии в прямоугольной системе координат. Воспользуемся

Задача 1. Решение. Найдем уравнение данной линии в прямоугольной системе координат. Воспользуемся уравнениями
уравнениями перехода из полярной системы координат в декартову прямоугольную (формулы расположены в правом верхнем углу слайда). Подставим их в исходное уравнение:

Выделим полный квадрат для слагаемых с переменной y:
x2 + (y – a)2 = a2.
- окружность со смещенным центром.
Рисунок – в правом нижнем углу.

⇒ x2 + y2 – 2ay = 0,

Слайд 13

Задача 2.

Постройте в полярной системе координат линию ρ = 2 +

Задача 2. Постройте в полярной системе координат линию ρ = 2 + cosϕ.
cosϕ.

Решение. 1) Найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то и правая часть уравнения линии должна подчиняться неравенству:
2 + cosϕ ≥ 0 или cosϕ ≥ -2, откуда ϕ - любое действительное число.
2) Найдем координаты нескольких точек и занесем их в таблицу. Например,
при ϕ =0, ρ = 2 + cos0=2+1=3.
Желательно составить таблицу точек с шагом для угла в π/8 радиан.
3) Начертить «заготовку», на которой изображены радиусы при разных значениях угла (рисунок на следующем слайде).
4) Отметить на «заготовке» найденные точки и аккуратно соединить их линией.

Слайд 14

Замечание: данная линия ρ = 2 + cosϕ - улитка Паскаля

Замечание: данная линия ρ = 2 + cosϕ - улитка Паскаля может быть
может быть получена так: каждый радиус-вектор окружности ρ = cosϕ увеличить на два.

«заготовка» для построения линий в полярной системе координат.

Рис. Улитка Паскаля.

Слайд 15

задача 3.

Постройте в полярной системе координат линию
.
Решение. 1) составим таблицу

задача 3. Постройте в полярной системе координат линию . Решение. 1) составим таблицу
пар точек, принадлежащих данной линии.
2) Для нахождения вида кривой обратимся к графику функции для ϕ ∈[0; 2π)

Слайд 16

Функция ρ = asin 2ϕ при а>0 принимает:
допустимые, неотрицательные значения ρ

Функция ρ = asin 2ϕ при а>0 принимает: допустимые, неотрицательные значения ρ ≥
≥ 0 при ϕ∈ [0, π/2]∪[π, 3π/2];
принимает максимальные, равные а, значения при ϕ = π/4 и ϕ = 5π/4;
интервалами возрастания функции являются значения ϕ∈ [0, π/4)∪[π, 5π/4);
убывания – ϕ∈ [π/4, π/2]∪[5π/4, 3π/2];

В результате график функции принимает вид двухлепестковой розы:

Слайд 17

Задача 4.

Постройте в полярной системе координат линию

Решение:
Исходя из области определения

Задача 4. Постройте в полярной системе координат линию Решение: Исходя из области определения
переменной ρ, найдем пределы изменения аргумента ϕ. Очевидно, что знаменатель дроби должен быть строго положительным:
4 – 5⋅cosϕ > 0, или cosϕ < 4/5, откуда ϕ ∈ (arccos(4/5), 2π – arccos(4/5)).
По условию ρ⋅(4 - 5⋅cosϕ) = 9. Воспользуемся формулами, связывающими полярные и прямоугольные координаты.

Слайд 18

16x2 + 16y2 = 25x2 + 90x + 81,
9x2 + 90x

16x2 + 16y2 = 25x2 + 90x + 81, 9x2 + 90x –
– 16y2 +81 = 0,
9(x + 5)2 – 16y2 = 144 →

– правая ветвь гиперболы при указанных ϕ.

(Кривую можно было построить по точкам,
например, при ϕ = π: ρ = 9/1 и так далее)

Имя файла: Алгоритм-приведения-к-каноническому-виду-уравнения-с-корнем.-Примеры-решения.pptx
Количество просмотров: 63
Количество скачиваний: 0