Числовые и функциональные ряды, их сходимость презентация

Вопросы лекции
1. Числовые ряды.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
Функциональные ряды, область их сходимости. Степенные ряды. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда. Основные свойства степенных рядов.

ЛИТЕРАТУРА
[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 234-277;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004.. с. 397-427;

Учебный вопрос
Числовые ряды.

Основные определения

Основные определения

Числовые ряды с неотрицательными членами

Числовые ряды с неотрицательными членами

Числовые ряды с неотрицательными членами

Числовые ряды с неотрицательными членами

Числовые ряды с неотрицательными членами

Учебный вопрос
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Числовой ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.
Пусть дан знакопеременный ряд (1)
Рассмотрим ряд (2), составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
(2)
Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Ряд (1) в этом случае называется абсолютно сходящимся.
Возможен случай, когда ряд (1) сходится, а (2) расходится; тогда ряд (1) называется условно сходящимся.

Ряд вида
=
называется знакочередующимся.
Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
Если члены знакочередующегося ряда
1) монотонно убывают по абсолютной величине:
2) ,
то знакочередующийся ряд сходится, сумма его S положительна и не превосходит первого члена ряда:

При замене суммы S ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, суммой n его первых членов абсолютная величина ошибки
не превышает абсолютного значения первого из отброшенных членов:
Знак ошибки (знак ) совпадает со знаком первого из отброшенных членов.

Пример 1.

Пример 2.

Учебный вопрос
Функциональные ряды, область их сходимости. Степенные ряды. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда. Основные свойства степенных рядов.

Функциональные ряды, область их сходимости.

Степенные ряды.

Пример 1.

Пример 2.