Слайд 2
![Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-1.jpg)
Определение числового ряда
Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим из членов
этой последовательности бесконечную сумму
Определение. Выражение (1)
называется числовым рядом, - общий член ряда.
Слайд 3
![Понятие сходящегося ряда Опр. Конечные суммы , называются частичными суммами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-2.jpg)
Понятие сходящегося ряда
Опр. Конечные суммы ,
называются частичными суммами ряда
(1).
Опр. Если существует конечный ,
то числовой ряд называется сходящимся, а
число - суммой ряда. Если равен
бесконечности или вообще не существует, то ряд расходится.
Слайд 4
![Пример сходящегося ряда Показать, что ряд сходится и найти его](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-3.jpg)
Пример сходящегося ряда
Показать, что ряд сходится и найти его сумму.
Общий член ряда .
Тогда , , ,…
Слайд 5
![Свойства сходящихся рядов 1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-4.jpg)
Свойства сходящихся рядов
1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е.
.
2) Постоянный множитель можно вынести за знак ряда, т. е.
Слайд 6
![Свойства сходящихся рядов От сходящегося ряда можно отбросить конечное число](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-5.jpg)
Свойства сходящихся рядов
От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов
или наоборот прибавить конечное число слагаемых и при этом сходимость ряда не изменится.
Слайд 7
![Примеры Геометрический ряд Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы, сходится](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-6.jpg)
Примеры
Геометрический ряд
Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим единицы,
сходится
Слайд 8
![Гармонический ряд Ряд , называется гармоническим. Известно, что гармонический ряд расходится.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-7.jpg)
Гармонический ряд
Ряд , называется гармоническим.
Известно, что гармонический ряд расходится.
Слайд 9
![Признаки сходимости ряда Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд сходится,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-8.jpg)
Признаки сходимости ряда
Необходимое условие сходимости ряда.
Если ряд сходится,
то .
Если же , то ряд расходится.
Слайд 10
![Пример расходящегося ряда Пример 1. Ряд расходится, так как .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-9.jpg)
Пример расходящегося ряда
Пример 1. Ряд расходится, так как
.
Слайд 11
![Знакоположительные ряды](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-10.jpg)
Слайд 12
![Признак сравнения. Пусть даны ряды и . Если ряд с](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-11.jpg)
Признак сравнения.
Пусть даны ряды и .
Если ряд
с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.
Слайд 13
![Признак сравнения в предельной форме Если существует конечный и отличный](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-12.jpg)
Признак сравнения в предельной форме
Если существует конечный и
отличный
от нуля , то
ряды и сходятся или
расходятся одновременно.
Слайд 14
![Примеры В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-13.jpg)
Примеры
В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд , который
расходится, и ряд или ,о
которых известно, что первый сходится, а второй при p>1сходится, а при p≤1 расходится.
Слайд 15
![Примеры Исследовать на сходимость ряды а) и б) . Найдем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-14.jpg)
Примеры
Исследовать на сходимость ряды
а) и б) .
Найдем предел
отношения членов данного ряда и ряда ,с которым
сравниваем данный ряд.
. Ряд сходится.
Слайд 16
![Примеры Ряд сравниваем с гармоническим рядом . Так как ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-15.jpg)
Примеры
Ряд сравниваем с
гармоническим рядом .
Так как
, то данный ряд
расходится вместе с гармоническим рядом.
Слайд 17
![Признак Даламбера Если существует конечный то 1)при ряд , где](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-16.jpg)
Признак Даламбера
Если существует конечный то
1)при ряд , где
, сходится,
2)при ряд расходится,
3)при признак ответа не дает.
Слайд 18
![Примеры Исследовать на сходимость ряд Так как , то и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-17.jpg)
Примеры
Исследовать на сходимость ряд
Так как , то и
.
Так как , то данный ряд сходится.
Слайд 19
![Признак Коши Если существует конечный то 1) при ряд ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-18.jpg)
Признак Коши
Если существует конечный
то
1) при ряд
, где , сходится,
2)при ряд расходится,
3)при признак ответа не дает.
Слайд 20
![Примеры Ряд исследуем с помощью признака Коши. Вычислим . Тогда и ряд согласно признаку Коши расходится.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-19.jpg)
Примеры
Ряд исследуем с помощью признака Коши.
Вычислим .
Тогда
и ряд согласно признаку Коши расходится.
Слайд 21
![Интегральный признак Пусть члены ряда положительны и при . Пусть](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-20.jpg)
Интегральный признак
Пусть члены ряда
положительны и при .
Пусть функция при имеет значения , положительна, непрерывна и монотонно убывает при
.Тогда числовой ряд сходится или расходится вместе с несобственным
интегралом
Слайд 22
![Обобщенный гармонический ряд Исследуем ряд . Функция монотонно убывает. Несобственный](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-21.jpg)
Обобщенный гармонический ряд
Исследуем ряд .
Функция монотонно убывает.
Несобственный
интеграл
= .Ряд расходится при p<1
и сходится при p>1 .
Слайд 23
![Пример Исследовать на сходимость ряд . Члены ряда положительны и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-22.jpg)
Пример
Исследовать на сходимость ряд
. Члены ряда
положительны и
монотонно убывают.
Функция , очевидно, также
положительна при x≥2, непрерывна и монотонно убывает.
Слайд 24
![Продолжение . Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд расходятся.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-23.jpg)
Продолжение
.
Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд
расходятся.
Слайд 25
![Знакопеременные ряды](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-24.jpg)
Слайд 26
![Признак Лейбница Пусть члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-25.jpg)
Признак Лейбница
Пусть члены знакочередующегося ряда
удовлетворяют условиям:
1)
и
2) .
Тогда знакочередующийся ряд сходится, причём его сумма S не превосходит его первого члена, т.е. .
Слайд 27
![Примеры Исследовать на сходимость ряды: 1) , 2) . 1)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-26.jpg)
Примеры
Исследовать на сходимость ряды:
1) , 2) .
1) члены знакочередующегося ряда
монотонно убывают и .
Согласно признаку Лейбница ряд сходится.
Слайд 28
![Примеры 2) общий член ряда не стремится к нулю, так](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-27.jpg)
Примеры
2) общий член ряда
не стремится к нулю, так
как
Следовательно, ряд расходится согласно необходимому признаку.
Слайд 29
![Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда Если сходится ряд , то знакопеременный ряд также сходится.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-28.jpg)
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
Если сходится ряд , то
знакопеременный ряд также сходится.
Слайд 30
![Абсолютно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд , то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-29.jpg)
Абсолютно сходящийся ряд
Определение.
Если сходится ряд , то
знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
Слайд 31
![Условно сходящийся ряд Определение. Если сходится ряд , а ряд](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/54074/slide-30.jpg)
Условно сходящийся ряд
Определение.
Если сходится ряд , а
ряд расходится, то
знакопеременный ряд
называется условно сходящимся.