Функция. Прямая пропорциональность презентация

Функция - одно из важнейших понятий математики, исходное по­нятие ведущей ее области - математического анализа. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям.
В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависи­мости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требу­ет от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах

1. Понятие функции. Способы задания функций
Определение. Числовой функцией называется такое соответст­вие между числовым множеством X и множеством R действи­тельных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.
Множество X называют областью определения функции.
Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f- функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу x из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у = f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(х) для всех х из множества X называют областью значений функции f.
Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.

Определение: Числовой функцией называется такой закон f,
при котором каждому числу х из множества D
ставится в соответствие единственное число у, зависящее от х.
т.е. задана функция y=f(x) с областью определения D
Х
у
f(x)
у1
Что такое функция?
D
f
Обозначают: у = f(x), x Є D.
Переменную х называют аргументом.
Переменную у – функцией.

Свойство монотонности функции
Числовые функции обладают многими свойствами. Мы рассмот­рим одно из них - свойство монотонности, так как понимание этого свойства учителем важно при обучении математике младших школь­ников.
Определение. Функция f(х) называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.
Определение. Функция f(х) называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел х1, х2 из множества А выпол­няется условие:
х1< х2 ⇨ f(х1)< f(х2)
Определение. Функция f называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел х1, х2 из множества А выпол­няется условие:
х1< х2 ⇨ f(х1)> f(х2)

Прямая пропорциональность
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = kх, где k - не равное нулю действительное число.
Название функции у = kх связано с тем, что в формуле у = kх есть переменные х и у, которые могут быть значениями величин. А если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае y/x = k (k ≠ 0). Это число называют коэффициентом пропорциональности.
Функция у = kх является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики.
Если t - время движения пешехода (в часах), s - пройденный путь (в километрах), и он движется равномерно со скоростью 4 км/ч, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой s = 4t. Так как каждому значению I соответствует единственное значение 5, то можно говорить о том, что с помощью формулы s = 4t задана функция.

Прямая y = − x
Биссектриса II и VI координатных углов.
Прямая пропорциональность
y = kx
Графиком является
прямая, проходящая
через начало координат
в I и III четвертях.
Прямая y = x
Биссектриса I и III
координатных углов.
y = x
y =−x
Точки
(3 ; ), (- 5; )
Точки
(4 ; ), (- 5; )
3
- 5
- 4
5
Это важно!

Свойства прямой пропорциональности
1. Областью определения функции у = kх и областью ее значений является множество действительных чисел.
2. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорционально­сти достаточно найти лишь одну точку, при­надлежащую ему и не совпадающую с началом координат, а затем через эту точку и начало координат провести прямую.
Например, чтобы построить график функ­ции у = 2х, достаточно иметь точку с коорди­натами (1, 2), а затем через нее и начало коор­динат провести прямую (рис. 89).
3. При k > 0 функция у = kх возрастает на всей области определе­ния; при k < 0 - убывает на всей области определения.
4. Если функция f - прямая пропорциональность и (х1,у1), (х2,у2), - пары соответственных значений переменных x и у, причем x2 ≠ 0, то x1/x2 = y1/y2

Обратная пропорциональности
Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = k/x, где k – не равное нулю действительное число.
Название данной функции связано с тем, что в у = k/x есть перемен­ные x и у, которые могут быть значениями величин. А если произведе­ние двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют обратно пропорциональными. В нашем случае xy = k (к ≠ 0). Это число k называют коэффициентом пропорциональности.
Функция у = k/x является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых уже в начальном курсе математики.
Если t- время движения пешехода (в часах), v - его скорость (в км/ч) и он прошел 12 км, то зависимость между этими величинами можно выразить формулой v · t = 20 или v= 20/t. Так как каждому значению t (t≠0) соответствует единственное значение скорости v, то можно говорить о том, что с помощью формулы v =20/t задана функция.

Обратная пропорциональность
k > 0
Графиком является гипербола,
проходящая в I и III четвертях.
Гипербола в
I и III координатных четвертях.
Точки
4 2 1 0,5
- - - -
- - - -

Свойства обратной пропорциональности
1. Областью определения функции у = k/x и областью ее значений x является множество действительных чисел, отличных от нуля.
2. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.
3. При k > 0 ветви гиперболы расположены в 1-й и 3-й четвертях и функция у = k/x является убывающей на всей области определения x (рис. 90). При k < 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = k/x является возрастающей на всей области определения х
4. Если функция f - обратная пропорциональность и (х1,у1), (х2,у2) - пары соответственных значений переменных х и у, то x1/x2 = y1/y2.

у = 2х – 1;
Укажите, какие из функций являются прямой и обратной пропорциональностью.