лекция 7 презентация

Задача 1.
В декартовой прямоугольной системе координат х0у дана фигура, ограниченная осью 0х, прямыми х=а, х=b (а< b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y=f(x); назовём эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.

у
х
0
y=f(x)
x1
x2
x3
хn-1
xk
xk+1
a
b
Разобьём отрезок [а;b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек х1, х2, х3, …, xk, xk+1, …, xn-1.
Тогда заданная трапеция разобьётся на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

у
х
0
y=f(x)
x1
x2
x3
xn-1
xk
xk+1
a
b
Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [х k ; х k+1].
Площадь прямоугольника равна f(х k )·Δх, где Δх – длина отрезка [х k ; х k+1]; естественно считать составленное произведение приближённым значением площади k-го столбика.
Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(х k ).

у
х
0
y=f(x)
x1
x2
x3
xn-1
xk
xk+1
a
b
Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придём к следующему результату: площадь заданной криволинейной трапеции приближённо равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников. Имеем:
Sn= f(x0)Δx0 + f(x1)Δx1 + f(x2)Δx2 + + … + f(xk)Δxk + … + f(xn-1)Δxn-1.
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем что а=х0, b=хn, Δx0 – длина отрезка [x0; x1], Δx1 –длина отрезка
[x1; x2] и т.д.
Итак, S ≈ Sn, причём это приближённое равенство тем больше, чем больше n.

Принято считать, что искомая площадь есть предел последовательности (Sn)

Понятие о криволинейной трапеции. Определённый интеграл
Фигура, ограниченная неотрицательной на отрезке [a;b] функцией y=f(x) и прямыми у=0, x=a, x=b называется
криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:
Где F(x) – первообразная функции y=f(x)
Вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F(x) функции f(x), то есть к интегрированию функции f(x).
Определение
Разность F(b)–F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначают:
Подынтегральная функция
Подынтегральное выражение
Верхний предел интегрирования
Нижний предел интегрирования

Формула Ньютона - Лейбница
Исаак Ньютон
1642-1727
Готфрид Лейбниц
1646-1716 гг.
Таким образом:

Геометрический смысл интеграла
Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) по [a, b] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [a, b], ограниченной сверху графиком функции y = f(x).
Пример
Вычислить интеграл, если график функции y=f(x) изображён на рисунке
Проверь себя!

Физический смысл интеграла
Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v=3t2-4t+1, (время измеряется в секундах, скорость – в см/с). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения (t=0)?
При прямолинейном движении перемещение S численно равно определённому интегралу зависимости скорости V от времени t
Пример

Вычисление площадей с помощью интегралов
1. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу осью ОХ и по бокам отрезком [a;b]

2. Фигура, ограниченная сверху только графиком функции y=f(x) и снизу осью ОХ
Точки а и b находим из уравнения f(x) =0
3. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху осью ОХ, снизу графиком функции y=f(x) и по бокам отрезком [a;b]

4. Фигура, ограниченная сверху двумя графиками функций y=f(x) и g(x), снизу осью ОХ и по бокам отрезком [a;b]
Точку С находим из уравнения f(x)=g(x)
5. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу графиком функции y=g(x)
Точки a и b находим из уравнения f(x)=g(x)

Устная работа
Выразите, с помощью интеграла площади фигур, изображённых на рисунке

ПРАКТИКУМ
Задание №1
Найти площадь криволинейной трапеции,
изображённой на рисунках
Используя формулу:
Решение
Получаем:
1)

2)
Решение
3)
Решение

4)
Решение
5)
Решение

6)
находится в I четверти
Решение
7)
Решение