Постулаты общей теории относительности. (Часть 3) презентация

ОТО отвечает на вопросы:
Если гравитационное поле задано, то как в этом поле движутся тела, свет, вообще материя, если обратным влиянием рассматриваемых объектов на само гравитационное поле можно пренебречь?
Если задано распределение материи в пространстве и известно, как материя движется, то какое гравитационное поле создает такая материя?
Основные постулаты ОТО:
Расширенный принцип относительности: все законы природы инвариантны в любых системах отсчета, как инерциальных, так и неинерциальных, движущихся с ускорением или замедлением.
Принцип постоянства скорости света: скорость света не зависит от скорости источника или приемника и ее направления (в 2002 г. с точностью до 10-15 ).
Принцип равенства гравитационной и инертной масс: гравитационная масса точно равна инерционной, название зависит лишь от выбора системы отсчета.
Тяжесть и инерция кажутся одним и тем же потому, что они являются одним и тем же (Эйнштейн). Силовое поле может называться гравитационным или инерционным в зависимости от выбора системы отсчета. Если системой отсчета служит лифт, то поле называется гравитационным. Если же системой отсчета является космос, то поле называется инерционным. Вместо двух сил оставлена одна – гравитационная, и даже она заменена на геометрию пространства-времени.
Постулаты ОТО

Из равенства гравитационной и инертной масс следует, что описание гравитационного взаимодействия между телами можно свести к описанию пространства-времени, в котором двигаются тела (для небольшой области пространства).
Эйнштейн предположил, что тела двигаются по инерции, то есть так, что их ускорение в собственной системе отсчёта равно нулю. Траектории тел тогда будут геодезическими линиями – аналог прямых для искривленного пространства.
Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются
линиями наибольшего собственного времени, то есть
времени, измеряемого часами, жёстко скреплёнными
с телом, следующим по этой траектории.
Интервал - «расстояние» между двумя произвольно
выбранными бесконечно близкими точками пространства-
времени, которые могут быть ориентированы в различных направлениях.
Он задаётся 10 независимыми компонентами метрического тензора.
Кривизна пространства-времени однозначно определяется его метрикой — метрическим тензором.
Если запустить из двух близких точек два тела параллельно друг другу, то в гравитационном поле они постепенно начнут либо сближаться, либо удаляться
Принцип эквивалентности масс

В СТО и ОТО рассматривают системы, взаимно движущиеся. Поскольку временной промежуток, характеризующий пару событий, оказался неинвариантным при переходе к другой, движущейся системе координат, но физические законы действуют в указанных системах одинаково, значит, законы должны допускать формулировку в тензорной форме, как не зависящей от конкретных координат. Это – тензорная форма.
Тензор –это таблица или матрица чисел, которая отвечает трем пунктам:
1) это математическое представление некоторого объекта (геометрического или физического), существующего в пространстве, в виде таблицы величин – компонент тензора;
2) значения компонент зависят от принятой системы координат, и изменяются (преобразуются) при переходе к другим координатам;
3) преобразование компонент таково, что оставляет, тем не менее, неизменными некоторые особые величины – инварианты.
Правило Эйнштейна:
выражение для скалярного квадрата (это скалярное произведение вектора хi на некоторый другой вектор х(х1, х2 , х3), его называют ковектором, то есть сопряженным вектором, его произведение с вектором – скаляр) запишется так:
x2=х1х1+х2х2+х3х3=хii
Тензоры

Метрический тензор gik - это (математически) правило вычисления длины любого вектора по значениям его компонент, он описывает свойства пространства-времени в данной точке и используется для описания результатов физических экспериментов.
В ортогональном базисе оба представления вектора хi и хi совпадают, в криволинейном - нет, в искривленных пространствах пересечение сетки параллельных прямых не может быть всюду под прямым углом.
x1= g11 х1+ g12 х2+ g13 х3
x2= g21 х1+ g22 х2+ g23 х3
x3= g31 х1+ g32 х2+ g33 х3
Это - результат умножения двух матриц:
или хi=gikxk
Тензоры

В СТО инвариантом является интервал s, по нему дифференцируют при нахождении 4-скорости. 4-скорость безразмерна, поэтому для преемственности домножают на с.
Основное уравнение релятивистской динамики, pi - 4-вектор энергии-импульса:
Соответственно, 4-сила:
4хмерное пространство и тензорное поле
В ОТО используется понятие тензорного поля - каждой точке пространства соответствует определенное значение некоторого тензора, скалярные
и векторные поля – частные случаи тензорных.
Скалярное поле – функция, заданная в каждой точке пространства, определяющее ее свойства (задается скаляром); векторное – аналогично определяет свойства с учетом направления (например, действие силы) (задается вектором).
Для ОТО пространство - 4хмерно, т.е. g00=1, g11= g22=g33=-1, остальные равны нулю.
У любого 4-вектора в СТО, какое бы физическое содержание он ни имел, нулевую компоненту называют временной. Три остальные компоненты называют пространственными. В совокупности последние образуют трехмерный вектор, который уже не имеет тензорных свойств относительно перехода между движущимися системами координат (не инвариантен).

Гравитационное поле в ОТО отождествляется с тензорным метрическим полем или метрикой четырехмерного пространства-времени.
Стандартной задачей ОТО является определение компонент метрического тензора, в совокупности задающих метрику пространства-времени, по известному распределению источников энергии-импульса в рассматриваемой системе четырехмерных координат.
Знание метрики позволяет рассчитывать движение пробных частиц, что эквивалентно знанию свойств поля тяготения в данной системе.
Гравитация. Уравнения Эйнштейна
Гравитационный потенциал поля тяготения описывается уравнением Пуассона:
Соответственно, потенциал определяет потенциальную энергию тела в поле тяготения, а из нее выводят силу тяготения:
Уравнения Эйнштейна связывают между собой свойства материи, присутствующей в искривлённом пространстве-времени, с его кривизной:
, где Rμν - тензор Риччи, определяет кривизну риманова пространства, его отличие от евклидова, gμν - метрический тензор, Tμν - тензор энергии-импульса, R – скалярная кривизна (вторая производная тензора Риччи).
Дифуравнения Эйнштейна связывают 10 гравитационных потенциалов с 10 величинами, описывающими распределение энергии-импульса.

А.Уиллер: вещество говорит пространству, как тому искривляться, а пространство говорит веществу, как тому двигаться.
Согласно теории тяготения Эйнштейна, истинное гравитационное поле является не чем иным, как проявлением искривления (отличия геометрии от евклидовой) четырёхмерного пространства-времени.
Искривление пространства-времени, определяется не только массой вещества, слагающего тело, но и ее распределением, а также всеми видами энергии, присутствующими в системе (из принципа эквивалентности массы и энергии), т.е. зависит от движения масс, давления и натяжения в телах, всех физических полей.
Физический вакуум тоже создает гравитацию, но не притяжения, а отталкивания (из-за отрицательного давления вакуума).
Природа гравитации

Свойства пространства-времени, определяемые незаряженными и невзаимодействующими друг с другом пробными частицами и волнами, не зависят от типа используемых частиц и волн.
Характеристикой пространства-времени является симметричный метрический тензор , зависящий в общем случае от координат и времени. С помощью тензора вычисляются различные инварианты, связанные с 4-векторами и тензорами.
Квадрат интервала задаёт квадрат длины 4-вектора дифференциала координат, не зависящий от выбора системы отсчёта.
Пространственно-временные измерения и фиксация метрических свойств осуществляются с помощью электромагнитных волн, скорость которых может зависеть от координат и времени в данной системе отсчёта, но не от скорости излучателей (на малых масштабах возможно нарушение принципа причинности). При этом для электромагнитных волн интервал всегда равен 0.
Физические свойства вещества и полей, кроме гравитационного поля, задаются соответствующими тензорами плотности энергии-импульса.
Имеются дополнительные условия, с помощью которых задаётся необходимое для расчётов количество соотношений для сдвигов и поворотов сравниваемых систем отсчёта, скоростей их движения друг относительно друга, и учитывающие свойства симметрии систем отсчёта.
Аксиомы общей теории относительности

Аксиомы теории гравитации
Свойства гравитационного поля задаются скоростью распространения гравитационного воздействия, равной скорости света и зависящей в общем случае от координат и времени, а также невырожденным метрическим тензором второго ранга .
Гравитационное поле сводится к геометрическому искривлению (деформации) пространства-времени, вызываемого источниками вещества и любым негравитационным полем. Степень искривления пространства-времени фиксируется тензором кривизны Римана-Кристоффеля, являющимся функцией от метрического тензора и его производных первого и второго порядка по координатам и времени. Путём свёртки с метрическим тензором из тензора Римана-Кристоффеля образуются тензор Риччи и скалярная кривизна.
Гравитационное ускорение сводится к градиентам от метрического тензора, то есть к скорости изменения компонент метрического тензора в пространстве и времени.
Свойства материи, определяемой как вещество и негравитационные поля, задаются тензором плотности энергии импульса .
Связь между гравитационным (метрическим) полем, задаваемым метрическим тензором через кривизну пространства-времени, и материей определяется уравнением для метрики:
Λ – космологическая постоянная.

Следствия общей теории относительности
Дополнительный сдвиг перигелия орбиты Меркурия по сравнению с предсказаниями механики] - Меркурий движется не просто по эллипсу, а по эллипсу, который сам медленно поворачивается (прецессия перигелия Меркурия – полный оборот за 3 млн. лет).
Отклонение светового луча
в гравитационном поле Солнца: α=1,75”
Гравитационное красное смещение, или замедление времени в гравитационном поле: изменения частоты света по мере удаления от массивных объектов, сдвиг спектральных линий в красную область спектра:
Отклонение и запаздывание (эффект Шапиро) электромагнитных волн в гравитационном поле массивных тел - в поле тяготения электромагнитные сигналы
идут дольше:
α