Проецирование плоскости презентация

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ
Плоскость – неопределяемое понятие геометрии
Плоскость общего положения – не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
Плоскость частного положения – параллельна или перпендикулярна к плоскости проекций:
плоскость уровня – плоскость, параллельная какой-либо плоскости проекций;
проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная какой-либо
плоскости проекций.
Классификация плоскостей

Задание плоскости на чертеже
Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость в пространстве
ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
рис. 3.1

Следы плоскости – прямые, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций.
- горизонтальный след плоскости («нулевая горизонталь» плоскости) h0α
- фронтальный след плоскости («нулевая фронталь» плоскости) f0α
- профильный след плоскости («нулевая профильная прямая») p0α
xα , yα , zα - точки схода следов
Задание плоскости следами
Рис. 3.2 Рис. 3.3

ТОЧКА И ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ
Признаки принадлежности:
Теорема. Если точка принадлежит плоскости, то проекции точки принадлежат
одноименным проекциям прямой, лежащей в этой плоскости.
A α < = > A' lα' ᴧ A'' lα''
План решения:
Провести через заданную проекцию точки одноименную проекцию вспомогательной прямой l , принадлежащей данной плоскости.
Построить вторую проекцию вспомогательной прямой l .
Найти недостающую проекцию точки на основании инвариантного свойства ортогонального проецирования.
Рис. 3.4
Построение неизвестной проекции точки, принадлежащей плоскости α

Построение неизвестной проекции точки, принадлежащей плоскости α
1 2 3
Рис. 3.4

Теорема. Если прямая принадлежит плоскости, то проекции хотя бы двух ее точек принадлежат одноименным проекциям прямых, лежащих в этой плоскости.
Следствие. Если прямая принадлежит плоскости, то следы прямой принадлежат одноименным следам плоскости.
Рис. 3.6
Рис. 3.5

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
1. Линии уровня плоскости – прямые, принадлежащие плоскости и
параллельные какой-либо плоскости проекций:
hα – горизонталь плоскости α hα ║ π1
h'' ║ 0x , h' ║ h0α
Рис. 3.7 Рис. 3.8 Рис. 3.9

fα – фронталь плоскости α fα ║ π2
Рис. 3.10 Рис. 3.11 Рис. 3.12
f ' ║ 0x , f '' ║ f0α

Линии наибольшего наклона (ЛНН) плоскости к плоскостям проекций – прямые, принадлежащие плоскости и образующие с соответствующей плоскостью проекций наибольший угол:
- линия наибольшего наклона плоскости α к горизонтальной плоскости проекций (линия ската) перпендикулярна к горизонтали плоскости α a ┴ hα
- линия наибольшего наклона плоскости α к фронтальной плоскости проекций перпендикулярна к фронтали плоскости α b ┴ fα
Линии наибольшего наклона используются для определения двугранных углов между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций.
ПРЯМЫЕ ЛИНИИ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
ПРАВИЛО определения угла наклона заданной плоскости к плоскости проекций
Провести линию наибольшего наклона (ЛНН) перпендикулярно к одноименной линии уровня плоскости.
Определить угол наклона построенной ЛНН к выбранной плоскости проекций (см. правило определения длины отрезка прямой).
Построенный угол для ЛНН равен углу наклона самой данной плоскости к выбранной плоскости проекций.

Рис. 3.14
Линии наибольшего наклона плоскости α
к π1
к π2

Рис. 3.15
Построение ЛНН плоскости α к фронтальной плоскости проекций
Построение ЛНН плоскости α к горизонтальной плоскости проекций

Плоскости частного положения
Проецирующие плоскости:
Горизонтально-проецирующая плоскость – перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций α ┴ π1
Рис. 3.16 Рис. 3.17
f0α ┴ x β = α^π2 A' , a' , Ф' h0α

Фронтально-проецирующая плоскость – перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций α ┴ π2
Рис. 3.18 Рис. 3.19
h0α ┴ 0x α = α^π1 A'' , a'' , Ф'' f0α

Профильно-проецирующая плоскость – перпендикулярна к профильной плоскости проекций α ┴ π3
Рис. 3.20 Рис. 3.21
h0α || x , f0α || x , α = α^π1 , β = α^π2 , A''' , a''' , Ф''' p0α

2. Плоскости уровня:
Горизонтальная плоскость – параллельна горизонтальной плоскости проекций α ║ π1
Плоскости частного положения
Рис. 3.22 Рис. 3.23
f0α || 0x , p0α || 0x , A'B'C' = ABC

Фронтальная плоскость – параллельна фронтальной плоскости проекций α ║ π2
Рис. 3.24 Рис. 3.25
h0α ┴ 0y , p0α ┴ 0y , A''B''C'' = ABC

Профильная плоскость – параллельна профильной плоскости проекций α ║ π3
Рис. 3.26 Рис. 3.27
h0α ┴ x , f0α ┴ x , A'''B'''C''' = ABC

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
ТЕОРЕМА. Если прямая параллельна плоскости, то проекции данной прямой параллельны одноименным проекциям какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости:
a ║ α < = > a' ║ lα ' ᴧ a'' ║ lα ''
a ║ α (h, f) , b α < = > a' ║ b ' ᴧ a'' ║ b ''

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
ТЕОРЕМА. Две плоскости параллельны, если проекции двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельны одноименным проекциям двух пересекающихся прямых другой плоскости
СЛЕДСТВИЕ. Если две плоскости параллельны, то их одноименные следы параллельны
Рис. 4.1 Рис. 4.2
α (a ∩ b) ║ β (c ∩ d) < = > a' ║ c' , b' ║ d' ᴧ a''║ c'' , b'' ║ d''
α ║ β < = > h0α ║ h0β ᴧ f0α ║ f0β

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
ТЕОРЕМА. Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция
прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали данной плоскости.
n ┴ α(h, f) < = > n' ┴ h' ᴧ n'' ┴ f ''
В общем случае отношение перпендикулярности в пространстве не сохраняет признаков перпендикулярности на чертеже.
Пример: Построить проекции прямой, перпендикулярной к заданной плоскости
и проходящей через точку A.
Рис. 4.3 Рис. 4.4 Рис. 4.5

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
ТЕОРЕМА. Если плоскости взаимно перпендикулярны, то одна из них содержит хотя бы одну прямую, горизонтальная проекция которой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (горизонтальному следу) плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (фронтальному следу) данной плоскости.
Пример: Построить проекции плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости и проходящей через точку A и прямую a.
Рис. 4.6 Рис. 4.7

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Рис. 4.7

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Рис. 4.7
β (а , n) ┴ α (c , d ) < = > n' ┴ h' , n'' ┴ f''

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Пример: Построить проекции плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости и проходящей через точку A и прямую a.
β (а , n) ┴ α (h0α , f0α ) < = > n' ┴ h0α , n'' ┴ f0α

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
Пересечение плоскостей, одна из которых проецирующая
Примечание. Одна из проекций искомой линии пересечения известна сразу: она совпадает с соответствующим следом проецирующей плоскости.
Вторая проекция находится по принадлежности искомой линии другой,
непроецирующей плоскости.
Рис. 4.8 Рис. 4.9

Пересечение плоскостей, одна из которых проецирующая
Рис. 4.9
β ∩ α (α ┴ π1) = > l ' h0α

Пересечение двух плоскостей общего положения
Алгоритм решения:
Ввести плоскость-посредник γ1 (γ1 ┴ π)
Построить линии пересечения плоскости γ1 с каждой из заданных плоскостей:
γ1 ∩ β = m1
γ1 ∩ α = n1
Найти точку K1 пересечения построенных линий
m1 ∩ n1 = K1
Ввести вторую плоскость-посредник γ2 (γ2 ┴ π) и повторить построения (п.п. 2, 3) для нахождения точки K2
γ2 ∩ β = m2
γ2 ∩ α = n2
m2 ∩ n2 = K2
5. Провести искомую прямую K1 K2 через две найденные точки
Пример: Построить линии пересечения заданных плоскостей
α ∩ β = K1K2
Рис. 4.11

Пересечение двух плоскостей общего положения
Рис. 4.11

Пересечение двух плоскостей общего положения
Рис. 4.11

Рис. 4.11
Пересечение двух плоскостей общего положения

Пересечение двух плоскостей общего положения
Рис. 4.12

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
1. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью
Одна из поверхностей – проецирующая
Рис. 4.13
Рис. 4.14
α ∩ а = A , α ┴ π1 = > A ' h0α

2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения
Рис. 4.15
Рис. 4.16

2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения
Рис. 4.16
α ∩ а = K , а ┴ π1 = > K ' а '

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
Алгоритм
определения точки пересечения прямой и плоскости общего положения
Заключить прямую a в проецирующую плоскость-посредник β .
а β, β ┴ π1
2. Определить линию l пересечения заданной плоскости α и вспомогательной плоскости β .
a ∩ β = l
Найти точку K пересечения заданной прямой a и построенной линии l пересечения плоскостей.
a ∩ l = K
Рис. 4.17

Задача. Построить проекции точки пересечения прямой а с плоскостью, заданной пересекающимися прямыми b и c .
Рис. 4.18
1. а β, β ┴ π1

2. a ∩ β = l
Рис. 4.18