Слайд 2
![Если в каждой точке заданной области пространства (чаще всего размерности](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-1.jpg)
Если в каждой точке заданной области пространства (чаще всего размерности 2
или 3) поставлено в соответствии некоторое (обычно действительное) число , то говорят, что в этой области задано скалярное поле
Слайд 3
![Примеры скалярных полей на трёхмерном пространстве: поле температуры внутри тела](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-2.jpg)
Примеры скалярных полей на трёхмерном пространстве:
поле температуры внутри тела
(подразумевается, что
она, вообще говоря, разная в разных точках тела);
поле потенциала электрического заряда ;
поле давления в жидкой среде.
Слайд 4
![Примеры плоских (двумерных) скалярных полей: глубина моря, отмеченная каким-либо образом](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-3.jpg)
Примеры плоских (двумерных) скалярных полей:
глубина моря, отмеченная каким-либо образом на
плоской карте;
плотность заряда на плоской поверхности
проводника.
Слайд 5
![Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхностей уровня (также](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-4.jpg)
Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхностей уровня (также называемой изоповерхностями).
Поверхностью уровня
скалярного поля называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение С, то есть поверхность уровня определяется уравнением .
Слайд 6
![Важнейшей характеристикой скалярного поля является градиент (grad): Градиентом дифференцируемого скалярного поля называется вектор](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-5.jpg)
Важнейшей характеристикой скалярного поля является градиент (grad):
Градиентом дифференцируемого скалярного поля называется
вектор
Слайд 7
![Физический смысл градиента Вектор указывает направление наиболее быстрого роста функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-6.jpg)
Физический смысл градиента
Вектор указывает направление наиболее быстрого роста функции , а
его величина дает скорость этого роста.
Слайд 8
![Если в каждой точке некоторой области пространства (или плоскости) определен](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-7.jpg)
Если в каждой точке некоторой области пространства (или плоскости) определен вектор
то
говорят, что в области задано векторное поле
Слайд 9
![Примерами векторного поля являются поля скорости и ускорения в текущей](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-8.jpg)
Примерами векторного поля являются
поля скорости и ускорения в текущей жидкости
или газе, поле силы гравитации, поле интенсивности электростатического поля и тому подобные.
Вообще, примером векторного поля может служить поле сил любой природы.
Слайд 10
![Важнейшими характеристиками векторного поля являются дивергенция (div) и ротор (rot)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-9.jpg)
Важнейшими характеристиками векторного поля являются дивергенция (div) и
ротор (rot)
Слайд 11
![Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скаляр](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-10.jpg)
Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля
называется скаляр
Слайд 12
![Если , то т. называется источником. Если , то т.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-11.jpg)
Если , то т. называется источником.
Если , то т. называется стоком.
Векторное поле, во всех точках которого дивергенция равна нулю называется соленоидальным (то есть не имеет ни источников, ни стоков).
Слайд 13
![Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-12.jpg)
Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор
Слайд 14
![Если для всех точек поля ротор равен нулю, то такое](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-13.jpg)
Если для всех точек поля ротор равен нулю, то такое поле
называется потенциальным (безвихревым).
Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля
и
Слайд 15
![ПРОСТЕЙШИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ К простейшим векторным полям относятся : соленоидальное; потенциальное; гармоническое .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-14.jpg)
ПРОСТЕЙШИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
К простейшим векторным полям относятся :
соленоидальное;
потенциальное;
гармоническое .
Слайд 16
![Производная по направлению Пусть функция определена в некоторой области пространства](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-15.jpg)
Производная по направлению
Пусть функция определена в некоторой области пространства .
Из
заданной точки проведем вектор . На луче, задаваемом вектором и точкой , отметим точку . Расстояние между точками обозначим через . Поэтому
Тогда при переходе из в функция получит приращение
Слайд 17
![Производная по направлению Если существует предел отношения , когда ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-16.jpg)
Производная по направлению
Если существует предел отношения , когда
, то
он называется производной по направлению функции в точке по направлению вектора
и обозначается .
Слайд 18
![Теорема. Если функция дифференцируема в области , то ее производная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/80856/slide-17.jpg)
Теорема. Если функция дифференцируема в области , то ее производная по
любому направлению
существует в каждой точке области и равны
где направляющие косинусы вектора
, т.е. координаты единичного вектора направления