Целые уравнения и способы их решения презентация

Цель работы:
Познакомиться с целыми уравнениями и способами их решения.

Целое уравнение
Уравнение вида , где -многочлен стандартного вида, называют целым алгебраическим уравнением.
Теорема 1.Если число является корнем многочлена
, то этот многочлен можно представить в виде
, где -многочлен степень которого на единицу меньше степени многочлена .

Теорема Безу
Теорема Безу. Для того чтобы многочлен делился без остатка на двучлен ,необходимо и достаточно, чтобы число было корнем многочлена.
Теорема 2.Если уравнение
имеет целые коэффициенты, причем свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

Пример 1
Решить уравнение
Делители свободного члена- числа -1, 1, -2, 2. Подставим эти числа в уравнение, находим что
Представим левую часть уравнение в виде или
,где и - неизвестные нам числа.

Методом неопределенных коэффициентов находим, что
и . Отсюда , .
Приравняв нулю трехчлен ,
найдем остальные корни уравнения:
,
, .
Ответ: , , .

Метод введения новой переменной.
Этот метод заключается в том, что для решения уравнения вводят новую переменную (подстановку)
и выражают через , получая новое уравнение . Решая затем уравнение
находят его корни .
После этого получают совокупность уравнений
из которых и находят корни исходного уравнения.

Пример 2
Решить уравнение
Полагая , получим уравнение . Находим его корни и решаем совокупность уравнений

Первое уравнение равносильно совокупности уравнений
находим корни
Второе уравнение
равносильно совокупности уравнений
находим корни
Ответ:

Возвратные уравнения
Уравнение четвёртой степени
называют возвратным, если оно имеет вид
где - не равное нулю число.
При возвратное уравнение примет вид
Такое уравнение называется симметрическим.
Возвратные уравнения можно упрощать введением новой переменной

Пример 3
Решить уравнение
Это уравнение возвратное, так как оно имеет вид
Разделим обе части уравнения на . Равносильность уравнения не нарушится, так как не является корнем уравнения. Получим:
Сгруппируем члены уравнения