Содержание
- 4. Ранг матрицы r=2 меньше числа неизвестных n=4, поэтому система имеет бесконечное множество решений
- 5. где и -любые числа.
- 6. Пример. Решить систему уравнений с помощью теоремы Крамера и с помощью обратной матрицы
- 7. Решение (с помощью теоремы Крамера).
- 9. Проверка:
- 10. С помощью обратной матрицы
- 14. ГЛАВА 2. Основы векторной алгебры §1. Основные понятия и определения Вектором называется направленный отрезок, началом которого
- 15. Длиной или модулем вектора называ-ется длина отрезка AB. Она обозначается символом или . Cвободными называются векторы,
- 16. Сонаправлеными (противоположно направлеными) называются векторы и если их направления совпадают (противоположны). Вектор, противоположный вектору обозначают (-
- 17. Коллинеарными называются векторы параллельные одной и той же прямой. Компланарными называются векторы параллельные одной и той
- 18. Углом между векторами и называется наименьший угол между лучами, на которых лежат векторы и . Ортогональными
- 19. Правой называется упорядоченная тройка ненулевых векторов , , , если кратчайший поворот от вектора к вектору
- 20. §2. Линейные операции c векторами 1. Сложение векторов Суммой векторов и называется вектор , проведенный из
- 21. Если на векторах и построить параллелограмм, то начало вектора совпадет с общим началом векторов и ,
- 22. Свойства операции сложения векторов: ( коммутативность), 2. (ассоциативность), 3. (поглощение нуля), 4. .
- 23. 2. Вычитание векторов Разностью векторов и называется вектор равный сумме вектора и вектора , противоположного вектору
- 24. 3. Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число называется вектор, длина которого равна при
- 25. Свойства операции умножения вектора на число: 1. (дистрибутивность относительно сложения чисел), 2. (дистрибутивность относительно сложения векторов),
- 26. Проекции вектора Осью называется прямая, на которой выбрано одно из двух возможных направлений, зафиксирована точка, называемая
- 27. B A Проекцией вектора на ось называется число , где длина соответствующего отрезка.
- 28. Проекцией вектора на ненулевой вектор называется проекция на любую ось, одинаково направленную с . Она обозначается
- 29. Свойства проекций: 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором
- 30. §3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов Линейной комбинацией системы векторов называется сумма произведений этих элементов
- 31. Линейно зависимой называется такая система векторов , в которой из равенства нулю их линейной комбинации следует
- 32. Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов). Система векторов линейно зависима, тогда и только
- 33. 2) Достаточность. Следствия : 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
- 34. Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов , отложенных от одной точки. Базисом в пространстве
- 35. Теорема . Если на плоскости выбран некоторый базис , то каждый вектор этой плоскости может быть
- 36. Пусть и При получим противоречие Это означает, что и
- 37. Разложением вектора по базису векторов называется запись вектора в виде Координатами вектора в данном базисе называются
- 38. §4. Декартова прямоугольная система координат O X Y M Z y z x
- 39. Декартовыми прямоугольными координатами вектора относительно данной системы координат OXYZ назовем упорядоченную тройку чисел , , .
- 40. Линейные операции над векторами в координатной форме Теорема (Координатный признак равенства векторов). Пусть , а .
- 41. Теорема (О линейных операциях над векторами в координатной форме). 1. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих
- 42. Доказательство. 1) Если , то
- 43. 2) Если , то
- 44. Следствие 1 (Выражение координат вектора через координаты его конца и начала). Пусть координаты точек и ,
- 45. Пример . Пусть , . Найти координаты вектора . Пример. При каком значении коллинеарны векторы и
- 46. §5. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов
- 47. Свойства скалярного произведения Свойство 1. (Признак ортогональности). Для того чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо
- 48. Доказательство. Необходимость. Если , то , и тогда Достаточность. Если , то . Но и ,
- 49. Свойство 2. Угол между двумя ненулевыми векторами острый (тупой), если их скалярное произведение положительно (отрицательно). Свойство
- 50. Свойство 4. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату длины вектора: Свойство 5. (переместительное) Свойство
- 51. Пример. Упростить выражение. .
- 52. §6. Вычисление длин векторов и углов между ними. Теорема (Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей). Пусть
- 53. Доказательство.
- 54. Следствие 1 (Вычисление длины вектора). Если то Следствие 2 (Вычисление косинуса угла между векторами).
- 55. Следствие 3 (Координатный признак ортогональности). Следствие 4 (Вычисление проекции одного вектора на другой).
- 56. Пример1 . Найти угол между диагоналя-ми параллелограмма, построенного на векторах и . Решение.
- 57. Пример 2. Даны координаты вершин треугольника А(1,2,3), В(3,3,0), С(4,6,3). Определить проекцию стороны АВ на основание треугольника
- 58. Пример 3. Найти вектор длиной ортогональный векторам и , образующий тупой угол с осью OZ.
- 60. §7. Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора на неколлинеарный ему вектор называется третий вектор , такой
- 61. Свойства векторного произведения: 1. (Признак коллинеарности) 2. 3. 4. 5. S
- 62. Пример. Упростить, используя свойства векторного произведения.
- 63. Теорема (Вычисление векторного произведения в координатной форме). Пусть декартовы координаты векторов и ,тогда Доказательство. Учтем, что
- 64. поэтому
- 66. Пример. Даны координаты вершин треугольника А(2,-1,3), В(1,1,1), С(5,-2,5). Найти площадь треугольника. Решение. A C B (ед
- 67. §8. Смешанное произведение векторов Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называют число, равное скалярному произведению вектора на
- 68. Свойства смешанного произведения: 1. 2. 3. 4.
- 69. 5. (Выражение смешанного произведе- ния через координаты сомножителей). Если известны декартовы прямоугольные координаты векторов , и
- 70. Доказательство.
- 71. 6. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепи-педа, построенного на приведенных к общему началу векторах
- 72. Пример 1 . Доказать, что векторы , и не могут быть компланарными ни при каком значении
- 73. Пример 2. Параллелепипед построен на векторах =(4,-3,2), =(3,-2,5) и =(1,0,3). Найти длину высоты, опущенной из конца
- 75. Скачать презентацию