Выпуклый анализ. Теоремы об отделимости выпуклых множеств. Лекция 18 презентация

6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
6.4. Некоторые следствия из теорем об отделимости
выпуклых множеств.

6.4. Некоторые следствия из теорем об отделимости выпуклых множеств.
Именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 5.
Доказательство.
Требуется доказать, что
удовлетворяющий условию

отсюда следует
Теорема доказана.
Последнее неравенство противоречит включению
Теорема 6.
Тогда
Необходимость очевидна.

Проверим достаточность.
Теорема 7.
Необходимость очевидна.
Проверим достаточность.
От противного приходим к
В результате получим
Умножим полученное неравенство на (-1).
Тогда
Теорема доказана.

Тогда справедлива следующая цепочка неравенств
что противоречит (1).
Теорема доказана.
Упражнение.
Решение.
удовлетворяющих неравенству

Упражнение.
Проверить полученную формулу для множеств
Решение.

Полученный результат полностью согласуется с рисунком.
Следствие 1.
когда
Доказательство.
Вытекает из утверждения

Следствие 2.
Тогда
Доказательство.
По определению расстояния Хаусдорфа выводим

Тогда
Теорема доказана.
Упражнение.
Вычислить расстояние Хаусдорфа между множествами
и
Решение.

Этот же результат может быть получен из анализа рисунка.
может не выполняться.
то равенство (2)
Пример 1.
С другой стороны
Таким образом,

Теорема 8.
Тогда
Обратно,
Доказательство.
Обратно, пусть
Непрерывная функция
Обозначим его через
Тогда

Теорема 9.
когда выполнено неравенство
Доказательство. Необходимость.
Тогда
что и доказывает необходимость.

Достаточность.
Последнее соотношение противоречит (4).
Теорема доказана.
Упражнение.
Решение.

Заметим, что
Подставим полученное выражение в (*).
Имеем

Упражнение.
Проверить полученную формулу для множеств
Результат согласуется с рисунком.
Решение.

Теорема 10.
матриц
выполняются равенства
Доказательство.
их опорные функции совпадают,
Приведем подробное доказательство для первого равенства.
Имеем