Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 4 презентация

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
2.1. Определение выпуклого множества. Примеры.

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
2.1. Определение выпуклого множества. Примеры.
называется выпуклым,
справедливо включение
Приведем примеры выпуклых множеств.
множество
Определение 1.
Пример 1.
содержит и отрезок, их соединяющий.
а правое нет.

справедливо
является выпуклым множеством.

Доказательство для открытой окрестности аналогично.
Множество точек
Пример 2.
выпукло.

которые называются замкнутыми
полупространствами, и множества
которые называются открытыми полупространствами.
Множества
выпуклы.
Доказательство этого утверждения
в предыдущем примере.
Пример 3.

поставим в соответствие множества
соответственно, прямой и лучом
Действительно, для всех
справедливо
которые будем называть,
Пример 4.

В силу
Теорема 1.
Доказательство.
Теорема доказана.

Из теоремы 1, в частности, следует, что множество
являющееся областью допустимых значений оптимизирующих параметров

Упражнение 1.
Доказать выпуклость эллипса
Решение.
Надо доказать, что
т. е., что
Справедливо неравенство

Аналогично
Тогда

Упражнение 2.
Доказать выпуклость множества
Рассмотрим задачу математического программирования

Тогда
Тогда

Пусть
Требуется показать, что точка
Решение.

Эта точка является именно той,
Действительно, докажем равенства (1)-(3))
Имеем

Установим справедливость (2)
Имеем