Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 6 презентация

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
2.5. Выпуклые оболочки.

2.5. Выпуклые оболочки.
Определение 9.
называется выпуклой комбинацией
Теорема 9
Необходимость.
Предположим, что утверждение теоремы верно
Рассмотрим произвольную выпуклую комбинацию
которое иногда непосредственно берется за определение выпуклого множества.
любого конечного числа своих точек.

Полагаем
Имеет место равенство
С другой стороны

Необходимость доказана.
Достаточность.
Достаточность доказана.
следовательно, оно выпукло.
любых своих двух точек,
Теорема 10.
– фиксированные точки
– их произвольные выпуклые комбинации.
Доказательство.

Тогда для любых
имеет место
Кроме того
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы легко выводится, например,

Упражнение.
Решение.

По аналогии с аффинной оболочкой множества
введем понятие выпуклой оболочки множества.
Определение 10.
Пересечение всех выпуклых множеств,
называется выпуклой оболочкой множества и
В тех случаях, когда рассматриваемое множество не выпукло
обозначается
и

Доказательство.
Теорема 11.

В качестве примера заметим, что выпуклая оболочка двух точек на плоскости
представляет собой отрезок прямой, их соединяющий;
а в пространстве – выпуклый многогранник.
Определение 11.
не лежащие на одной прямой,
треугольник.
образует выпуклый многоугольник,

Согласно теореме 10 справедливо равенство
Теорема 12 (Каратеодори).
Доказательство.
Покажем, что число слагаемых (ненулевых!) в этом выражении можно уменьшить,

В силу (1)
а их сумма равна нулю,
и (2)

Теорема доказана.