Показательная функция презентация

Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией
где m0 – масса дрожжей в процессе дрожжевания.
Показательная функция в жизни:

Рост древесины происходит по закону
A=A0∙ akt
A- изменение количества древесины во времени;
A0- начальное количество древесины;
t-время, k, а- постоянные.

Рост количества бактерий
происходит по закону
N = 5t
N-число колоний бактерий в момент времени t;
t- время размножения.

Рост различных видов микроорганизмов и бактерий, дрожжей, ферментов, – все эти процессы подчиняются одному закону:
N = N0ekt
N-число колоний бактерий в момент времени t;
t- время размножения.

Устно
1)Назовите область определения показательной функции
(множество всех действительных чисел)
2) Какие значения принимает показательная функция?
(только положительные значения)
3)Назовите множество значений показательной функции?
(множество всех положительных чисел)
4)Является ли функция y=(1/3)x
возрастающей?
(нет)

5) Какие уравнения называются показательными?
(показательными уравнениями называются уравнения, у которых неизвестное содержится в показателе степени)
6) Является ли показательная функция четной?
(нет)
7) Сравните 33 и 34
(33 < 34 возрастающая)
(3/5)-5и (3/5)5
((3/5)-5 > (3/5)5 убывающая)

Обозначение e ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи, а само число назвали в честь Непера «неперовым числом».Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e, называется экспонентой и обозначается
y = ex.
Число е=2,71828182845904523536
одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности при неограниченном возрастании π.

0< а <1
у=0.5х
у=2х
а>1
1
0
X
Y
Область определения -R,
Множество значений - R+ .
3. если а > 1 функция возрастающая;
если 0< а < 1 функция убывающая.
Показательная функция:

1. Решить графически уравнения:
1) 3x=4-x, 2) 0,5х=х+3.

Показательные уравнения
Показательное уравнение –это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени
Уравнения вида a x = a в (где а >0, а ≠ 1) и уравнения, сводящиеся к этому виду называются показательными.
Примеры: 22x – 4=32;
4x+3 = 42x – 8.

1) (0,0016)0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
- 0,8 х – 4 = 2;
- 0,8 х = 6;
х = - 7,5 .
Ответ: х = - 7,5.
36 · 2)36∙6х = 1;
62 + х = 60;
2 + х = 0;
х = - 2.
Ответ: х = - 2.
3)81х · 24х = 36;
34х · 24х = 62;
64х = 62;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: х = 0,5.
2. Решите неравенство:

4) 9х – 4 · 3х = 45;
32х – 4 · 3х – 45 = 0;
Замена 3х = t, t > 0;
t2 - 4 t – 45 = 0;
t 1 = 9,
t2 = - 5
а) 3х = 9; б) 3х = -5;
3х = 32; нет решений
х = 2;
Ответ: х= 2.

Показательные неравенства
Показательное уравнение –это неравенство, содержащее неизвестное в показателе степени
Если а>1, то функция возрастает, и х > в (х < в)
Если 0< а< 1, то функция убывает, и х < в (х > в)
Примеры: 22x > 32;
3x+3 < 81.

Решить неравенство(устно)
1) 6х ≥ 63
2)82х< 64
3) 342х≤ 1 4) >

а) 8х > -5
Х – любое число
Ответ: хϵ R
б) 8х < -5
нет решений
Ответ: нет решений
3. Решите неравенство:

в) Решите неравенство:
-1 ≤ х – 3 < 2
2 ≤ х < 5
т. к. функция у= 7х возрастает, то

10х + 15 < - 2
х < - 1,7
г) Решите неравенство:
т. к. функция у= 2х возрастает, то

т. к. функция у= 0,75х убывает, то
2 + 4х ≤ 1 – 8х
12х ≤ - 1
х ≤ -1/12
д) Решите неравенство:

Множество упорядоченных пар, значений переменных, обращающих в истинное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений.
Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Системы показательных уравнений

4. Решите систему уравнений:
2-у + 2у-1 = 0;
-у + 2у =1-2;
у = -1
х =2-(-1)=2+1=3
Ответ: (3;-1)

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств.
Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.
Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют общее множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам.
Очевидно, что решением системы неравенств является пересечение решений неравенств.
Системы показательных неравенств

5. Решите систему уравнений:
Решим неравенство
т. к. функция у= 3х возрастает, то

2) Решим показательное уравнение
=
3х2– 2 = 2х2 +х + 4,
х2– х – 6 = 0,
х1 = 2> 1,5;
х2= -3 < 1,5; следовательно
х = -3.
Ответ: х=-3.