Тема: Применение производной в физике и технике. Применяемая педагогическая технология на уроке: кейс-технология презентация

Во всем мне хочется дойти до самой сути…
Эти слова Б.Л. Пастернака с полным правом могли бы сказать о себе И. Ньютон, Г. Лейбниц, Л.Эйлер, О. Коши, Ж. Лагранж.
Различные задачи естествознания – такие, как определение скорости, ускорения, силы тока, плотности вещества и многие другие – приводят к одним и тем же математическим вычислениям. Отвлекаясь от конкретного содержания каждой задачи, результат соответствующих математических вычислений называют производной.
Лейбниц Готфрид Фридрих
(1646 – 1716) – великий немецкий учёный. Философ, математик, физик, юрист, языковед. Создатель (наряду с Ньютоном) математического анализа.

Что называется производной функции?
Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Что называется дифференциалом функции?
Дифференциалом функции называют произведение её производной на приращение аргумента.
df = f ′(x)∙∆x
Обычно дифференциал функции
записывают в виде:
df = f ′(x)∙dx

Это интересно!
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XVII в. в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь для определения скорости прямолинейного движения и построения касательной к кривой.
Независимо друг от друга И.Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат исчисления, которым мы пользуемся в настоящее время. Ньютон исходил в основном из задач механики (опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и, сводя к нему другие случаи производной), а Лейбниц по преимуществу исходил из геометрических задач (использовал понятие бесконечно малой).
Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления.

Сведения из истории.
Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь вперёд, и вера в правильность результатов к вам придёт».
Термин «производная» - ( франц. deriveе - позади, за) ввёл в 1797 г. Ж . Лагранж. Он же ввёл современные обозначения y ' , f '
Обозначение lim –сокращение латинского слова limes (межа, граница). Термин «предел» ввёл И. Ньютон.
И. Ньютон называл производную флюксией, а саму
функцию - флюентой.
Г. Лейбниц говорил о дифференциальном
отношении и обозначал производную так:
Лагранж Жозеф Луи (1736-1813)
французский математик и механик

Физический смысл производной.
Скорость есть производная от пути по времени. v(t) = x′(t)
Ускорение есть производная скорости по времени.
a(t) = v′(t) = x′′(t)

Геометрический смысл производной.
Угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной этой функции, вычисленной в точке касания.
f′(x) = k = tga

Дифференциал в физике.
Рассматривается связь между тремя величинами, получаются равенства dy = k dx, где k – это производная y по x
( k – коэффициент пропорциональности между бесконечно малыми изменениями взаимосвязанных величин)
Сила – производная работы по перемещению.
Сила тока – производная заряда по времени.
Линейная плотность – производная массы (тонкого стержня) по длине.
Теплоёмкость – производная теплоты по температуре.
Мощность – производная работы по времени.

Кроссворд
По вертикали:
1.Создатель дифференциального исчисления, использовавший понятие бесконечно малой.
2. Коэффициент пропорциональности между бесконечно малыми изменениями взаимосвязанных величин.
3. Создатель дифференциального исчисления, опирающийся на физическое представление о мгновенной скорости, считавший его очевидным и сводящий к нему другие случаи производной.
4. Производная от работы по времени.
5.Производная от количества электричества по времени - …?…. тока.
По горизонтали:
Производная от скорости по времени.
Производная от пути по времени.
Производная от массы неоднородного стержня по длине – линейная …….?……. .

Ответы на вопросы кроссворда

Домашнее задание.
Стр.137 рис.100, пример 7, разобрать, записать вывод свойства параболы, имеющее применение в оптике и технике.
Стр. 138, № 269, 270, 271.

Три задачи: №267 (а,б,в)
Точка движется по закону
а) выведите формулу для вычисления скорости движения
точки в любой момент времени t ( t > 0);
б) найдите скорость в в момент t = 2c;
в) через сколько секунд после начала
движения точка остановится?
И ещё две задачи: № 268.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = t 3 – 4 t 2 .Перемещение измеряется в метрах.
Найдите:
скорость в момент t = 5c;
ускорение в момент t = 5c.
Задачи
Дорогие ученики, Вам предлагаются для решения пять небольших задач, три из них в № 267, две – в № 268.

№267 (а, б, в)
а) V(t) = - t 2 + 4 t + 5.
б) V(2) = - 2 2 + 4∙2 + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9(м/с).
в) V(t) = 0, - t 2 + 4 t + 5 = 0, t1 = -1, t2 = 5,
-1 < 0, не удовлетворяет условию задачи.
Точка остановится через 5 секунд после начала движения.
------------------------------------------------------------------------------------
№268
Решение.
V(t) = x′(t) = 3 t 2 - 8 t ; V(5) = 3 ∙ 5 2 – 8 ∙ 5 = 35 (м/с).
a(t) = x′′(t) = 6t – 8; a(5) = 6 ∙ 5 – 8 = 22 (м/с 2).
Решение задач
Самооценка: 5 заданий – «5», 4 задания – «4», 3 задания – «3», 2 задания – «2», одно – «1»

Тест (двухвариантный, работа по карточкам)

Подведём и т о г